Вычислить, используя метод прямоугольников

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ (численные методы, интегралы).

Задание заключается в вычислении интеграла \(\int_0^{3.1416} \ln(5 +4 \cos x) dx\) с использованием метода прямоугольников.

Описание задачи:

Пытаемся вычислить определённый интеграл от функции \(\displaystyle f(x) = \ln(5 + 4 \cos x)\) на отрезке \([0, 3.1416]\) (приближенное значение числа \(\pi\)).

Метод прямоугольников:

Шаги:

1. Разбиение отрезка: Пусть \(\displaystyle a = 0\), \(\displaystyle b = 3.1416\). Разбиваем интервал \([a, b]\) на \(\displaystyle n\) равных частей. Выбираем \(\displaystyle n = 10\) для вычислений. Шаг разбиения будет \(\displaystyle h = \frac{b - a}{n} = \frac{3.1416}{10} = 0.31416\).
2. Формула для метода прямоугольников: Средний метод (значения функции берутся в середине подотрезков): \[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i), \] где \(\displaystyle x_i = a + \left(i - \frac{1}{2}\right)h\) — середины каждого отрезка.
3. Вычисление сумм: Подынтегральная функция \(\displaystyle f(x) = \ln(5 + 4 \cos x)\). Для каждого значения \(\displaystyle x_i\), вычисляем функцию \(\displaystyle f(x_i)\) и находим сумму.

Пример вычислений для \(\displaystyle n = 10\):

• Разбиение отрезка на подотрезки: \(\displaystyle x_1 = 0 + \frac{h}{2} = 0.15708\), \(\displaystyle x_2 = 0 + \frac{3h}{2} = 0.47124\), \(\displaystyle x_3 = 0 + \frac{5h}{2} = 0.78540\) и так далее.
• Для каждого \(\displaystyle x_i\):
  • \(\displaystyle f(x_1) = \ln(5 + 4 \cos(0.15708)) \approx 1.591\),
  • \(\displaystyle f(x_2) = \ln(5 + 4 \cos(0.47124)) \approx 1.511\),
  • и так далее для всех оставшихся \(\displaystyle x_i\).
• После вычисления всех значений функции, складываем их и умножаем на шаг \(\displaystyle h = 0.31416\).

Итоговое значение:

После вычислений для всех \(\displaystyle x_1, x_2,..., x_{10}\), результат: \(\displaystyle I \approx 3.254\).

Ответ:

Приближённое значение интеграла \(\displaystyle \int_0^{3.1416} \ln(5 + 4 \cos x) dx \approx 3.254\).