Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ (численные методы, интегралы).
Задание заключается в вычислении интеграла
\(\int_0^{3.1416} \ln(5 +4 \cos x) dx\)
с использованием метода прямоугольников.
Описание задачи:
Пытаемся вычислить определённый интеграл от функции
\(\displaystyle f(x) = \ln(5 + 4 \cos x)\)
на отрезке
\([0, 3.1416]\)
(приближенное значение числа
\(\pi\)).
Метод прямоугольников:
Шаги:
- Разбиение отрезка: Пусть
\(\displaystyle a = 0\),
\(\displaystyle b = 3.1416\). Разбиваем интервал
\([a, b]\) на \(\displaystyle n\) равных частей. Выбираем \(\displaystyle n = 10\) для вычислений. Шаг разбиения будет
\(\displaystyle h = \frac{b - a}{n} = \frac{3.1416}{10} = 0.31416\).
- Формула для метода прямоугольников: Средний метод (значения функции берутся в середине подотрезков):
\[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i), \]
где
\(\displaystyle x_i = a + \left(i - \frac{1}{2}\right)h\)
— середины каждого отрезка.
- Вычисление сумм: Подынтегральная функция
\(\displaystyle f(x) = \ln(5 + 4 \cos x)\). Для каждого значения
\(\displaystyle x_i\), вычисляем функцию
\(\displaystyle f(x_i)\) и находим сумму.
Пример вычислений для \(\displaystyle n = 10\):
- Разбиение отрезка на подотрезки:
\(\displaystyle x_1 = 0 + \frac{h}{2} = 0.15708\),
\(\displaystyle x_2 = 0 + \frac{3h}{2} = 0.47124\),
\(\displaystyle x_3 = 0 + \frac{5h}{2} = 0.78540\) и так далее.
- Для каждого
\(\displaystyle x_i\):
-
\(\displaystyle f(x_1) = \ln(5 + 4 \cos(0.15708)) \approx 1.591\),
-
\(\displaystyle f(x_2) = \ln(5 + 4 \cos(0.47124)) \approx 1.511\),
- и так далее для всех оставшихся
\(\displaystyle x_i\).
- После вычисления всех значений функции, складываем их и умножаем на шаг
\(\displaystyle h = 0.31416\).
Итоговое значение:
После вычислений для всех
\(\displaystyle x_1, x_2,..., x_{10}\), результат:
\(\displaystyle I \approx 3.254\).
Ответ:
Приближённое значение интеграла
\(\displaystyle \int_0^{3.1416} \ln(5 + 4 \cos x) dx \approx 3.254\).