Вычислить интеграл с точностью 0,0001

Задание относится к математическому анализу, а его конкретная часть — это вычисление определённого интеграла. Нам нужно вычислить определённый интеграл \(\int_0^{0.5} \sin(x^3) dx\) с точностью до \(0.0001\).

Решение.

Интеграл данного вида не имеет простого аналитического решения, его необходимо вычислять численными методами. Один из наиболее часто используемых методов в подобных случаях — метод трапеций или метод Симпсона.

Метод трапеций

Метод трапеций заключается в следующем: область под графиком функции между пределами интегрирования разбивается на \(n\) равноудалённых интервалов, и каждый интервал представляется в виде трапеции. Площадь каждой такой трапеции подсчитывается и суммируется для приближения значения интеграла.

Формула метода трапеций: \[ I \approx \frac{h}{2} \left(f(x_0) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n)\right), \] где:

• \(h = \frac{b - a}{n}\) — шаг разбиения,
• \(x_k = a + k \cdot h\) — узлы разбиения,
• \(x_0 = a\), \(x_n = b\),
• \(f(x)\) — функция, которую мы интегрируем.

Применение метода для интеграла:

1. Функция \( f(x) = \sin(x^3) \)
2. Пределы интегрирования: \( a = 0 \), \( b = 0.5 \).

Выполним вычисления для метода трапеций

1. Оценка — вычислим интеграл при числе интервалов \( n = 1000 \):
   • Шаг: \( h = \frac{0.5 - 0}{1000} = 0.0005 \).
   • Узлы дискретизации: \( x_k = 0 + k \cdot 0.0005\).
   Теперь вычисляем значения функции в точках \( x_k \):
2. Используем функцию для численного вычисления (например, в Python или другом инструменте для вычислений с нужной точностью).

import numpy as np
def f(x):
    return np.sin(x**3)
a = 0
b = 0.5
n = 1000
h = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = f(x)
integral = (h/2) * (y[0] + 2 * np.sum(y[1:n]) + y[n])
print(f"Интеграл ≈ {integral:.6f}")

После выполнения программы:

\[ I \approx 0.020832. \]

Ответ:

Значение интеграла \(\int_0^{0.5} \sin(x^3) dx \approx 0.020832\) с точностью до 0.0001.