Вычислить двойной интеграл прямоугольной области

Этот вопрос относится к предмету "математика", раздел которого называется "многомерное исчисление". Задача просит вычислить двойной интеграл функции \(x^2\) по прямоугольной области \(D\), заданной как \(0 \leq x \leq 2\) и \(0 \leq y \leq 3\). Итак, давайте подробно решим этот двойной интеграл.

• Сначала запишем выражение для двойного интеграла с заданными пределами интегрирования: \[\iint_D x^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{3} \left(\int_{0}^{2} x^2 \, dx \right) dy \]
• Вычислим внутренний интеграл: \[\int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
• Для этого нужно найти первообразную функции \(x^2\), которая равна \(\frac{x^3}{3}\): \[\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
• Теперь подставим результат внутреннего интеграла во внешний интеграл: \[\int_{0}^{3} \left(\frac{8}{3} \right) \, dy \]
• Поскольку \(\frac{8}{3}\) является константой, её можно вынести за знак интеграла: \[\frac{8}{3} \int_{0}^{3} dy \]
• Вычислим оставшийся интеграл: \[\int_{0}^{3} dy = y \Big|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3 \]
• Подставим результат в предыдущее выражение: \[\frac{8}{3} \cdot 3 = 8 \]

Таким образом, значение двойного интеграла равно \(8\).

Ответ: \[\iint_D x^2 \, dx \, dy = 8 \]