Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (двойной интеграл)

Задание:

Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области:

Область интегрирования: [0 \leq x \leq 5, \quad 0 \leq y \leq 5]

Интеграл: \iint\limits_D (x - y) \, dx \, dy

Решение:

Область D — это прямоугольник с границами: x \in [0, 5], \quad y \in [0, 5]

Интеграл можно записать в виде повторного интеграла:

 \int_0^5 \int_0^5 (x - y) \, dx \, dy 

Сначала вычислим внутренний интеграл по переменной x:

 \int_0^5 (x - y) \, dx 

Поскольку y — константа при интегрировании по x, получаем:

 \int_0^5 x \, dx - \int_0^5 y \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^5 - y \cdot \left[ x \right]_0^5 

 = \frac{25}{2} - 5y 

Теперь подставим это во внешний интеграл:

 \int_0^5 \left( \frac{25}{2} - 5y \right) dy 

Вычислим этот интеграл:

 \int_0^5 \frac{25}{2} \, dy - \int_0^5 5y \, dy = \frac{25}{2} \cdot 5 - 5 \cdot \frac{5^2}{2} 

 = \frac{125}{2} - \frac{125}{2} = 0 

Ответ:

\iint\limits_D (x - y) \, dx \, dy = 0