Вычислить двойной интеграл функции f(x, y) = y - x по области D, ограниченной кривыми y = x и y = x^2

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — кратные интегралы (двойные интегралы)

Задание:
Вычислить двойной интеграл функции f(x, y) = y - x по области D, ограниченной кривыми y = x и y = x^2.

Шаг 1: Определим область интегрирования

Нам дана область D, ограниченная кривыми:

• y = x^2 — парабола
• y = x — прямая

Найдем точки пересечения этих кривых:

 x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 1 

Соответствующие значения y:

• При x = 0: y = 0
• При x = 1: y = 1

Значит, область D — это область между кривыми y = x^2 и y = x от x = 0 до x = 1.

Шаг 2: Запишем двойной интеграл

Так как y меняется от y = x^2 до y = x, а x — от 0 до 1, то интеграл имеет вид:

 \iint_D (y - x) \, dA = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy \, dx 

Шаг 3: Вычислим внутренний интеграл

Вычислим интеграл по y:

 \int_{y=x^2}^{x} (y - x) \, dy 

Рассчитаем первообразную:

 \int (y - x) \, dy = \frac{y^2}{2} - x y 

Подставим пределы интегрирования:

 \left[ \frac{y^2}{2} - x y \right]_{y = x^2}^{x} = \left( \frac{x^2}{2} - x \cdot x \right) - \left( \frac{(x^2)^2}{2} - x \cdot x^2 \right) 

Упростим:

 \left( \frac{x^2}{2} - x^2 \right) - \left( \frac{x^4}{2} - x^3 \right) = \left( -\frac{x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^4}{2} - x^3 \right) 

 = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + x^3 

Шаг 4: Вычислим внешний интеграл

Теперь подставим это выражение в интеграл по x:

 \int_{0}^{1} \left( -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + x^3 \right) dx 

Вычислим по частям:

 \int_{0}^{1} -\frac{x^2}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} x^2 \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} 

 \int_{0}^{1} -\frac{x^4}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} x^4 \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{10} 

 \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} 

Сложим всё вместе:

 -\frac{1}{6} - \frac{1}{10} + \frac{1}{4} 

Приведем к общему знаменателю (наименьшее общее кратное — 60):

 -\frac{10}{60} - \frac{6}{60} + \frac{15}{60} = \frac{-10 - 6 + 15}{60} = \frac{-1}{60} 

Ответ:

 \boxed{-\frac{1}{60}}