Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

Предмет: Математика (раздел: Математический анализ, Тема: Длина дуги кривой)

Нам необходимо вычислить длину дуги кривой \( L \), которая задана параметрически следующими уравнениями:

\[ \begin{cases} x(t) = (t^2 - 2) \sin t + 2t \cos t, \\ y(t) = (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t, \end{cases} \], где параметр \( t \) изменяется в пределах \( 0 \leq t \leq 3\pi \).

Шаг 1: Формула длины дуги для параметрической кривой

Формула для длины дуги параметрической кривой \( x(t) \) и \( y(t) \) на интервале \( t \in [a, b] \) задается как:

\[ L = \int_a^b \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt. \]

Для применения этой формулы нам нужно найти производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \).

Шаг 2: Найдем производные функций \( x(t) \) и \( y(t) \)

1. Производная от \( x(t) \):

\[ x(t) = (t^2 - 2) \sin t + 2t \cos t. \]

Используем правило произведения:

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( (t^2 - 2) \sin t \right) + \frac{d}{dt} \left( 2t \cos t \right). \]

Рассчитаем производные отдельно:

\[ \frac{d}{dt} \left( (t^2 - 2) \sin t \right) = (t^2 - 2) \cos t + 2t \sin t, \]

\[ \frac{d}{dt} (2t \cos t) = 2 \cos t - 2t \sin t. \]

Теперь сложим эти результаты:

\[ \frac{dx}{dt} = (t^2 - 2) \cos t + 2t \sin t + 2 \cos t - 2t \sin t = (t^2 - 2) \cos t + 2 \cos t = (t^2 + 2) \cos t. \]

2. Производная от \( y(t) \):

\[ y(t) = (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t. \]

Производим аналогичные вычисления:

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( (2 - t^2) \cos t \right) + \frac{d}{dt} \left( 2t \sin t \right). \]

Рассчитаем производные:

\[ \frac{d}{dt} \left( (2 - t^2) \cos t \right) = -(2 - t^2) \sin t - 2t \cos t, \]

\[ \frac{d}{dt} (2t \sin t) = 2 \sin t + 2t \cos t. \]

Теперь сложим результаты:

\[ \frac{dy}{dt} = -(2 - t^2) \sin t - 2t \cos t + 2 \sin t + 2t \cos t = -(2 - t^2) \sin t + 2 \sin t = (t^2 - 2) \sin t. \]

Шаг 3: Подставим производные в формулу длины дуги

Теперь подставим \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \) в формулу длины дуги:

\[ L = \int_0^{3\pi} \sqrt{ \left( (t^2 + 2) \cos t \right)^2 + \left( (t^2 - 2) \sin t \right)^2 } \, dt. \]

Приведем подкоренное выражение:

\[ L = \int_0^{3\pi} \sqrt{ (t^2 + 2)^2 \cos^2 t + (t^2 - 2)^2 \sin^2 t } \, dt. \]

Раскроем скобки:

\[ (t^2 + 2)^2 = t^4 + 4t^2 + 4, \]

\[ (t^2 - 2)^2 = t^4 - 4t^2 + 4. \]

Теперь получаем:

\[ L = \int_0^{3\pi} \sqrt{ (t^4 + 4t^2 + 4) \cos^2 t + (t^4 - 4t^2 + 4) \sin^2 t } \, dt. \]

Заметим, что подкоренное выражение упрощается:

\[ (t^4 + 4t^2 + 4) \cos^2 t + (t^4 - 4t^2 + 4) \sin^2 t = t^4(\cos^2 t + \sin^2 t) + 4. \]

Так как \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \), то:

\[ L = \int_0^{3\pi} \sqrt{ t^4 + 4 } \, dt. \]

Шаг 4: Решение интеграла

Интеграл \(\int_0^{3\pi} \sqrt{t^4 + 4} \, dt\) не имеет элементарного решения, поэтому его можно вычислить численно с помощью численных методов, таких как метод трапеций или метод Симпсона. Если воспользоваться численным методом, то результат может быть вычислен с помощью калькулятора или специального пакета для решения интегралов. Ответом будет значение, полученное численным методом для данного интеграла.