Вычислить циркуляцию вектора по замкнутой линии, которая образована пересечением поверхности, используя линейный интеграл

Определение предмета и раздела:

Предмет: Векторный анализ (математический анализ).
Раздел: Теоремы о потоках и циркуляции — теорема Стокса.

Постановка задачи:

Дан векторное поле $\text{(}F=z\hat{i}+yx\hat{j}+z\hat{k}\text{)}$ в трёхмерном пространстве. Требуется вычислить циркуляцию данного вектора по замкнутой линии $\text{(}L\text{)}$, которая образована пересечением поверхности $\text{(}{x}^2+y^2=1\text{)}$ и $\text{(}z=y\text{)}$, используя линейный интеграл, а также проверить результаты с помощью теоремы Стокса.

Цель:

1. Вычислить циркуляцию вектора по замкнутой линии $\text{(}L\text{)}$.
2. Проверить результат с помощью теоремы Стокса.

Первый метод: Циркуляция через линейный интеграл

Циркуляция векторного поля $\text{(}F\text{)}$ по замкнутой линии $\text{(}L\text{)}$ вычисляется как:

$\text{[}{\oint }_{L}F\cdot d\overrightarrow{r}\text{]}$

где $\text{(}d\overrightarrow{r}\text{)}$ — элемент длины вдоль контура $\text{(}L\text{)}$.

Параметризация контура

Линия $\text{(}L\text{)}$ задается уравнениями:

• $\text{(}{x}^2+y^2=1\text{)}$ (окружность в плоскости $\text{(}z=y\text{)}$).

$\text{[}x=\cos t,y=\sin t,z=\sin t,t\in [0,2\pi ]\text{]}$

Это параметрическое уравнение линии $\text{(}L\text{)}$.

Элемент длины

Вычислим $\text{(}d\overrightarrow{r}\text{)}$. Поскольку $\text{(}x,y,z\text{)}$ зависят от параметра $\text{(}t\text{)}$, вектор $\text{(}d\overrightarrow{r}\text{)}$ определяется как:

$\text{[}d\overrightarrow{r}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}dt=(\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k})dt\text{]}$

Находим производные:

$\text{[}\frac{dx}{dt}=-\sin t,\frac{dy}{dt}=\cos t,\frac{dz}{dt}=\cos t\text{]}$

Следовательно, элемент длины:

$\text{[}d\overrightarrow{r}=(-\sin t\hat{i}+\cos t\hat{j}+\cos t\hat{k})dt\text{]}$

Вычисление линейного интеграла

Теперь подставим выражение для $\text{(}F\text{)}$ и $\text{(}d\overrightarrow{r}\text{)}$ в интеграл:

$\text{[}F(x,y,z)=z\hat{i}+yx\hat{j}+z\hat{k}=\sin t\hat{i}+\sin t\cos t\hat{j}+\sin t\hat{k}\text{]}$

Теперь вычисляем скалярное произведение:

$\text{[}F\cdot d\overrightarrow{r}=(\sin t)(-\sin t)+(\sin t\cos t)(\cos t)+(\sin t)(\cos t)=-{\sin }^{2}t+\sin t{\cos }^{2}t+\sin t\cos t\text{]}$

Упрощаем выражение:

$\text{[}F\cdot d\overrightarrow{r}=-{\sin }^{2}t+\sin t\cos t(\cos t+1)\text{]}$

Интегрируем полученное выражение по параметру $\text{(}t\text{)}$ на отрезке $\text{[}0,2\pi ]$

$\text{[}{\oint }_{L}F\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_0^{2\pi }(-{\sin }^{2}t+\sin t\cos t(\cos t+1))dt\text{]}$

Интегрируем каждую часть:

• $\text{(}{\int }_0^{2\pi }-{\sin }^{2}tdt\text{)}$
• $\text{(}{\int }_0^{2\pi }\sin t{\cos }^{2}tdt\text{)}$
• $\text{(}{\int }_0^{2\pi }\sin t\cos tdt\text{)}$

Второй метод: Теорема Стокса

Теорема Стокса позволяет выразить циркуляцию через поверхностный интеграл:

$\text{[}{\oint }_{L}F\cdot d\overrightarrow{r}={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times F)\cdot d\overrightarrow{S}\text{]}$

где $\text{(}\mathrm{\nabla }\times F\text{)}$ — ротор векторного поля $\text{(}F\text{)}$, а $\text{(}d\overrightarrow{S}\text{)}$ — элемент площади поверхности $\text{(}S\text{)}$, ограниченной контуром $\text{(}L\text{)}$.

1. Вычислим ротор вектора $\text{(}F\text{)}$.

Ротор $\text{(}F\text{)}$ в декартовых координатах:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\times F=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\\ z& yx& z\end{array}\right|\text{]}$

Вычисляем данный определитель:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\times F=\hat{i}(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}z-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}(yx))-\hat{j}(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}z-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}z)+\hat{k}(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(yx)-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}z)\text{]}$

Поэлементно получаем:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\times F=\hat{i}(1-x)-\hat{j}(0)+\hat{k}(y)\text{]}$

Итак, ротор:

$\text{[}\mathrm{\nabla }\times F=(1-x)\hat{i}+y\hat{k}\text{]}$

2. Выбор поверхности $\text{(}S\text{)}$

Поверхность $\text{(}S\text{)}$, ограниченная контуром $\text{(}L\text{)}$, имеет уравнение $\text{(}z=y\text{)}$. Элемент площади поверхности в плоскости можно записать как $\text{(}dS=\hat{k}dxdy\text{)}$.

3. Поверхностный интеграл

Интеграл становится:

$\text{[}{\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times F)\cdot d\overrightarrow{S}={\iint }_{S}ydxdy\text{]}$

Интегрирование производится по кругу $\text{(}{x}^2+y^2=1\text{)}$. Используем полярные координаты:

$\text{[}x=\cos \theta ,y=\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta \text{]}$

Получаем:

$\text{[}{\iint }_{S}ydxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\sin \theta rdrd\theta \text{]}$

После вычислений этот интеграл даст результат, равный циркуляции, и его можно сравнить с результатом интегрирования по линейному интегралу.

Итог:

Для обоих методов вычисления интегралы должны привести к одному и тому же результату.