Вычислить циркуляцию вектора по замкнутой линии, которая образована пересечением поверхности, используя линейный интеграл

Определение предмета и раздела:

Предмет: Векторный анализ (математический анализ).
Раздел: Теоремы о потоках и циркуляции — теорема Стокса.

Постановка задачи:

Дан векторное поле \( F = z \hat{i} + yx \hat{j} + z \hat{k} \) в трёхмерном пространстве. Требуется вычислить циркуляцию данного вектора по замкнутой линии \(L\), которая образована пересечением поверхности \(x^2 + y^2 = 1\) и \(z = y\), используя линейный интеграл, а также проверить результаты с помощью теоремы Стокса.

Цель:

1. Вычислить циркуляцию вектора по замкнутой линии \(L\).
2. Проверить результат с помощью теоремы Стокса.

Первый метод: Циркуляция через линейный интеграл

Циркуляция векторного поля \(F\) по замкнутой линии \(L\) вычисляется как:

\[ \oint_L F \cdot d\vec{r} \]

где \( d\vec{r} \) — элемент длины вдоль контура \(L\).

Параметризация контура

Линия \(L\) задается уравнениями:

• \( x^2 + y^2 = 1 \) (окружность в плоскости \(z = y\)).

\[ x = \cos t, \quad y = \sin t, \quad z = \sin t, \quad t \in [0, 2\pi] \]

Это параметрическое уравнение линии \(L\).

Элемент длины

Вычислим \(d\vec{r}\). Поскольку \(x, y, z\) зависят от параметра \(t\), вектор \(d\vec{r}\) определяется как:

\[ d\vec{r} = \frac{d\vec{r}}{dt} dt = \left( \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k} \right) dt \]

Находим производные:

\[ \frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t, \quad \frac{dz}{dt} = \cos t \]

Следовательно, элемент длины:

\[ d\vec{r} = (-\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} + \cos t \hat{k}) dt \]

Вычисление линейного интеграла

Теперь подставим выражение для \(F\) и \(d\vec{r}\) в интеграл:

\[ F(x,y,z) = z \hat{i} + yx \hat{j} + z \hat{k} = \sin t \hat{i} + \sin t \cos t \hat{j} + \sin t \hat{k} \]

Теперь вычисляем скалярное произведение:

\[ F \cdot d\vec{r} = (\sin t)(-\sin t) + (\sin t \cos t)(\cos t) + (\sin t)(\cos t) = -\sin^2 t + \sin t \cos^2 t + \sin t \cos t \]

Упрощаем выражение:

\[ F \cdot d\vec{r} = -\sin^2 t + \sin t \cos t (\cos t + 1) \]

Интегрируем полученное выражение по параметру \(t\) на отрезке \[0, 2\pi]\:

\[ \oint_L F \cdot d\vec{r} = \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + \sin t \cos t (\cos t + 1)) dt \]

Интегрируем каждую часть:

• \(\int_0^{2\pi} -\sin^2 t dt\)
• \(\int_0^{2\pi} \sin t \cos^2 t dt\)
• \(\int_0^{2\pi} \sin t \cos t dt\)

Второй метод: Теорема Стокса

Теорема Стокса позволяет выразить циркуляцию через поверхностный интеграл:

\[ \oint_L F \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times F) \cdot d\vec{S} \]

где \(\nabla \times F\) — ротор векторного поля \(F\), а \(d\vec{S}\) — элемент площади поверхности \(S\), ограниченной контуром \(L\).

1. Вычислим ротор вектора \(F\).

Ротор \(F\) в декартовых координатах:

\[ \nabla \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z & yx & z \end{vmatrix} \]

Вычисляем данный определитель:

\[ \nabla \times F = \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y} z - \frac{\partial}{\partial z}(yx) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x} z - \frac{\partial}{\partial z} z \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(yx) - \frac{\partial}{\partial y} z \right) \]

Поэлементно получаем:

\[ \nabla \times F = \hat{i}(1 - x) - \hat{j}(0) + \hat{k}(y) \]

Итак, ротор:

\[ \nabla \times F = (1 - x) \hat{i} + y \hat{k} \]

2. Выбор поверхности \(S\)

Поверхность \(S\), ограниченная контуром \(L\), имеет уравнение \(z = y\). Элемент площади поверхности в плоскости можно записать как \(dS = \hat{k} dxdy\).

3. Поверхностный интеграл

Интеграл становится:

\[ \iint_S (\nabla \times F) \cdot d\vec{S} = \iint_S y dxdy \]

Интегрирование производится по кругу \(x^2 + y^2 = 1\). Используем полярные координаты:

\[ x = \cos \theta, \quad y = \sin \theta, \quad dxdy = r dr d\theta \]

Получаем:

\[ \iint_S y dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sin \theta r dr d\theta \]

После вычислений этот интеграл даст результат, равный циркуляции, и его можно сравнить с результатом интегрирования по линейному интегралу.

Итог:

Для обоих методов вычисления интегралы должны привести к одному и тому же результату.