Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить частные производные по всем величинам, входящим в расчетную формулу
Условие:
вычислить частные производные по всем величинам, входящим в расчетную формулу
Решение:
Предмет и раздел
Данное задание относится к предмету "Математический анализ", раздел — "Дифференциальное исчисление". Нам нужно вычислить частные производные объема \( V \) по радиусам \( R \) и \( r \).
Объем шара с полостью
Формула для объема шара с полостью:
\[ V = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) \]где:
- \( R \) — радиус шара,
- \( r \) — радиус полости.
Задача 1. Получить формулу для определения \(\Delta V\)
Для решения этой задачи нам нужно найти частные производные объема \( V \) по величинам \( R \) и \( r \).
Шаг 1. Частная производная \(\frac{\partial V}{\partial R}\)
Итак, сначала найдем частную производную \(\frac{\partial V}{\partial R}\). Рассматриваем \( r \) как константу:
\[ V(R, r) = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) \]Производная по \( R \):
\[ \frac{\partial V}{\partial R} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{d}{dR}(R^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3R^2 = 4\pi R^2 \]Шаг 2. Частная производная \(\frac{\partial V}{\partial r}\)
Теперь найдем частную производную \(\frac{\partial V}{\partial r}\). Рассматриваем \( R \) как константу:
\[ V(R, r) = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) \]Производная по \( r \):
\[ \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{d}{dr}(-r^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot (-3r^3) = -4\pi r^2 \]Итог
Мы нашли частные производные объема \( V \) по радиусам \( R \) и \( r \):
\[ \frac{\partial V}{\partial R} = 4\pi R^2 \] \[ \frac{\partial V}{\partial r} = -4\pi r^2 \]Заключение
Эти частные производные помогут нам в дальнейшем для определения изменяемого объема \(\Delta V\), если произойдут изменения в радиусах шара и полости.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку