Вычислить частные производные первого порядка функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, частные производные

Мы решаем пункт 10, где требуется вычислить частные производные первого порядка функции:

 f(x, y, z) = \sin(xy) + \cos(yz) 

Шаг 1: Понимание задачи

Частные производные функции нескольких переменных — это производные по одной из переменных, когда остальные переменные считаются постоянными.

Обозначение частных производных:

•  \frac{\partial f}{\partial x}  — частная производная по x.
•  \frac{\partial f}{\partial y}  — частная производная по y.
•  \frac{\partial f}{\partial z}  — частная производная по z.

Шаг 2: Вычисление  \frac{\partial f}{\partial x} 

Берем производную функции  f(x, y, z)  по x, считая y и z константами.

Функция имеет два слагаемых:
 f(x, y, z) = \sin(xy) + \cos(yz) .

Производная  \cos(yz)  по x равна нулю, так как в этом выражении нет переменной x.

Теперь берем производную  \sin(xy)  по x.
Используем правило производной синуса:

 \frac{d}{dx} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dx} 

Здесь  u = xy , поэтому его производная по x равна:

 \frac{d}{dx} (xy) = y .

Тогда:

 \frac{\partial}{\partial x} \sin(xy) = \cos(xy) \cdot y .

Ответ:

 \frac{\partial f}{\partial x} = y \cos(xy) .

Шаг 3: Вычисление  \frac{\partial f}{\partial y} 

Берем производную  f(x, y, z)  по y, считая x и z константами.

Первое слагаемое:

 \frac{\partial}{\partial y} \sin(xy) .

Применяем правило производной синуса:

 \frac{d}{dy} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dy} .

Здесь  u = xy , и его производная по y:

 \frac{d}{dy} (xy) = x .

Тогда:

 \frac{\partial}{\partial y} \sin(xy) = \cos(xy) \cdot x .

Второе слагаемое:

 \frac{\partial}{\partial y} \cos(yz) .

Применяем правило производной косинуса:

 \frac{d}{dy} \cos u = -\sin u \cdot \frac{du}{dy} .

Здесь  u = yz , и его производная по y:

 \frac{d}{dy} (yz) = z .

Тогда:

 \frac{\partial}{\partial y} \cos(yz) = -\sin(yz) \cdot z .

Ответ:

 \frac{\partial f}{\partial y} = x \cos(xy) - z \sin(yz) .

Шаг 4: Вычисление  \frac{\partial f}{\partial z} 

Берем производную  f(x, y, z)  по z, считая x и y константами.

Первое слагаемое:

 \frac{\partial}{\partial z} \sin(xy) .

Так как в этом выражении нет переменной z, его производная равна нулю.

Второе слагаемое:

 \frac{\partial}{\partial z} \cos(yz) .

Применяем правило производной косинуса:

 \frac{d}{dz} \cos u = -\sin u \cdot \frac{du}{dz} .

Здесь  u = yz , и его производная по z:

 \frac{d}{dz} (yz) = y .

Тогда:

 \frac{\partial}{\partial z} \cos(yz) = -\sin(yz) \cdot y .

Ответ:

 \frac{\partial f}{\partial z} = -y \sin(yz) .

Ответ:

Частные производные первого порядка функции  f(x, y, z) = \sin(xy) + \cos(yz) :

1. По x:
    \frac{\partial f}{\partial x} = y \cos(xy) .

2. По y:
    \frac{\partial f}{\partial y} = x \cos(xy) - z \sin(yz) .

3. По z:
    \frac{\partial f}{\partial z} = -y \sin(yz) .

Вывод

Мы разобрали, как вычислять частные производные, используя правила дифференцирования тригонометрических функций.
Каждый раз мы считали остальные переменные константами и применяли базовые правила производных.