Вычисли площадь фигуры ограниченной линиями

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к математическому анализу, а также к теме площадь фигур, ограниченных линиями, что включает в себя нахождение определённых интегралов.

Шаги решения:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой \( y = 7 + \sin(x) \), осью \( y = 0 \) и прямыми \( x = -\frac{3\pi}{2} \) и \( x = -\pi \), нужно найти определённый интеграл от функции \( y \) на указанном промежутке.

Шаг 1. Формула площади под графиком функции

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y=f(x) \), осью \( x \), и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), можно найти с помощью интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

В нашем случае:

• \( f(x) = 7 + \sin(x) \),
• \( a = -\frac{3\pi}{2} \),
• \( b = -\pi \).

Следовательно, площадь будет равна:

\[ S = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} (7 + \sin x) \, dx \]

Шаг 2. Вычисление интеграла

Рассмотрим интеграл по частям:

\[ S = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} 7 \, dx + \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} \sin x \, dx \]

1. Интеграл от константы:

\[ \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} 7 \, dx = 7 \cdot \left[ x \right]_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} = 7 \cdot \left( -\pi - \left( -\frac{3\pi}{2} \right) \right) = 7 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2} \]

2. Интеграл от синуса:

\[ \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} \]

Вычисляем косинусы:

\[ -\cos(-\pi) = -(-1) = 1, \quad -\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -0 = 0 \]

Следовательно:

\[ \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\pi} \sin x \, dx = 1 - 0 = 1 \]

Шаг 3. Суммирование результатов

Теперь сложим результаты двух интегралов:

\[ S = \frac{7\pi}{2} + 1 \]

\[ S = \frac{7\pi}{2} + 1 \]

Ответ:

Площадь ограниченной фигуры — \( \frac{7\pi}{2} + 1 \) квадратных единиц.

Итак, площадь фигуры равна: