Вычисли площадь фигуры ограниченной линиями

Главная
Высшая математика
Математический анализ
Вычисли площадь фигуры ограниченной линиями

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к математическому анализу, а также к теме площадь фигур, ограниченных линиями, что включает в себя нахождение определённых интегралов.

Шаги решения:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой $$y = 7 + \sin (x) $$ , осью $$y = 0 $$ и прямыми $$x = - \frac{3 π}{2} $$ и $$x = - π $$ , нужно найти определённый интеграл от функции $$y $$ на указанном промежутке.

Шаг 1. Формула площади под графиком функции

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y = f (x) $$ , осью $$x $$ , и прямыми $$x = a $$ и $$x = b $$ , можно найти с помощью интеграла:

$\[S = \int_{a}^{b} f (x) d x \]$

В нашем случае:

$$f (x) = 7 + \sin (x) $$ ,
$$a = - \frac{3 π}{2} $$ ,
$$b = - π $$ .

Следовательно, площадь будет равна:

$\[S = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} (7 + \sin x) d x \]$

Шаг 2. Вычисление интеграла

Рассмотрим интеграл по частям:

$\[S = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} 7 d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} \sin x d x \]$

1. Интеграл от константы:

$\[\int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} 7 d x = 7 \cdot {[x]}_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} = 7 \cdot (- π - (- \frac{3 π}{2})) = 7 \cdot \frac{π}{2} = \frac{7 π}{2} \]$

2. Интеграл от синуса:

$\[\int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} \sin x d x = - \cos x |_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} \]$

Вычисляем косинусы:

$\[- \cos (- π) = - (- 1) = 1, - \cos (- \frac{3 π}{2}) = - 0 = 0 \]$

Следовательно:

$\[\int_{- \frac{3 π}{2}}^{- π} \sin x d x = 1 - 0 = 1 \]$

Шаг 3. Суммирование результатов

Теперь сложим результаты двух интегралов:

$\[S = \frac{7 π}{2} + 1 \]$

Ответ:

Площадь ограниченной фигуры — $$\frac{7 π}{2} + 1 $$ квадратных единиц.

Итак, площадь фигуры равна:

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!