Вычисления пределов

Данный пример относится к математике, а именно к разделу математического анализа, связанного с вычислением пределов.

Задача №55 требует от нас использования теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях для вычисления пределов.

Основная идея метода эквивалентных бесконечно малых функций заключается в том, что при устремлении аргумента к пределу можно заменить функции на их эквиваленты, при этом сохраняется суть результата.

Задача 1.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tg 3x}{\sin x + \sin 4x} \]

Для вычисления этого предела воспользуемся тем, что при \( x \to 0 \) малые углы для тригонометрических функций можно заменить эквивалентами:

\[\tg 3x \sim 3x, \quad \sin x \sim x, \quad \sin 4x \sim 4x. \]

Теперь предел можно переписать как:

\[\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x + 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}. \]

Ответ: \( \frac{3}{5} \).

---

Задача 2.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{3x^2} \]

Напомним эквивалентность для \( \cos x \):

\[ 1 - \cos z \sim \frac{z^2}{2} \ \ \text{при} \ \ z \to 0. \]

Применяя это при \( z = 8x \), получаем:

\[ 1 - \cos 8x \sim \frac{(8x)^2}{2} = \frac{64x^2}{2} = 32x^2. \]

Теперь подставляем в предел:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{32x^2}{3x^2} = \frac{32}{3}. \]

Ответ: \( \frac{32}{3} \).

---

Задача 3.

\[ \lim_{x \to 2} \frac{\sin(x - 2)}{x^2 - 4} \]

Для этой задачи заметим, что \( \sin(x - 2) \sim (x - 2) \) при \( x \to 2 \), а в знаменателе \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \). Тогда предел преобразуется в:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}. \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).

---

Задача 4.

\[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \right)^x \]

Перепишем выражение:

\[\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}. \]

При \( x \to \infty \), \(\frac{4}{x^2} \to 0\), следовательно:

\[\frac{1 + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} \to 1. \]

Таким образом, получается неопределённость вида \( 1^\infty \), которую можно преобразовать через логарифм:

\[\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \exp\left( x \ln \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \right) \right). \]

Рассмотрим асимптотическое поведение логарифма при \( x \to \infty \):

\[\ln \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \right) \sim \frac{8}{x^2}. \]

Тогда предел преобразуется в:

\[\lim_{x \to \infty} \exp\left( \frac{8x}{x^2} \right) = \exp(0) = 1. \]

Ответ: \( 1 \).

---

Задача 5.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(a + x) - \ln a}{x} \]

Это производная функции \( \ln(a + x) \) в точке \( x = 0 \). Применим определение производной:

\[\frac{d}{dx} \ln(a + x) = \frac{1}{a + x}. \]

При \( x \to 0 \) это выражение стремится к \( \frac{1}{a} \).

Ответ: \( \frac{1}{a} \).

---

Задача 6.

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin 5x} - e^{\sin x}}{\ln(1+2x)} \]

Используем разложения в ряд Тейлора для малых \( x \):

\[\sin 5x \sim 5x, \quad \sin x \sim x, \quad e^z \sim 1 + z \ \text{при} \ z \to 0, \]

и \(\ln(1 + 2x) \sim 2x\). Таким образом:

\[e^{\sin 5x} - e^{\sin x} \sim (1 + 5x) - (1 + x) = 4x. \]

Тогда предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = 2. \]

Ответ: \( 2 \).