Вычисление значения, и оценка абсолютной и относительной погрешностей результата

Предмет: Физика или математический анализ, раздел "Теория погрешностей" или "Вычисления с погрешностями".

Задание: Вычисление значения \(Z\), и оценка абсолютной и относительной погрешностей результата.

Условия задачи:

Дана формула: \[ Z = \sqrt{1.58 - \frac{1}{5.24^2}} \]

Шаг 1: Вычисление значения \(Z\)

1. Сначала вычисляем \(5.24^2\): \[ 5.24^2 = 27.4576 \]
2. Вычисляем \(\frac{1}{5.24^2}\): \[ \frac{1}{5.24^2} = \frac{1}{27.4576} \approx 0.03642 \]
3. Теперь подставляем это в уравнение: \[ Z = \sqrt{1.58 - 0.03642} = \sqrt{1.54358} \]
4. Вычисляем квадратный корень: \[ Z \approx \sqrt{1.54358} \approx 1.2424 \]

Шаг 2: Оценка погрешностей

Погрешность исходных данных

Указана в задаче — числа были округлены усечением. Округленные исходные числа:

• \(1.58\) — округление до двух знаков после запятой.
• \(5.24\) — округление до двух знаков после запятой.

Абсолютная погрешность

Погрешность округления при усечении составляет \(\Delta x \approx 0.005\) для каждого числа (предположение о потере точности на \(\pm 1\) цифру в последнем разряде).

Для \(1.58\): \[ \Delta(1.58) = 0.005 \]

Для \(5.24\), учитывая квадрат уровня значения \(5.24^2\), погрешность возрастает: \[ \Delta(5.24^2) = 2 \times 5.24 \times 0.005 = 0.0524 \]

Для данного уровня округления: \[ \Delta Z \approx 0.005 \]

Относительная погрешность

\[ \delta Z = \frac{\Delta Z}{Z} \times 100\% \approx \frac{0.005}{1.2424} \times 100\% \approx 0.40 \% \]

Ответ:

Значение \(Z \approx 1.2424\), абсолютная погрешность \(\approx 0.005\), относительная погрешность \(\approx 0.40 \%\).

Абсолютная погрешность вычисления \(\Delta Z\) будет зависеть от пропагандации через вычисления, но для упрощённой оценки мы можем учитывать обобщение через метод дифференциального приближения или прямыми вычислениями ошибок.