Вычисление производной функции

Определение предмета и раздела:

Задание относится к разделу "Математика", а конкретно к теме "Функции, производные и их исследования" в курсе "Математического анализа" или "Дифференциального исчисления".

Решение:

Дана функция \( f(x) = \left(e^{1/x} + 1\right)^{-1} \).

Разберём несколько характеристик этой функции:

1. Вычисление производной функции:

Посчитаем производную функции \( f(x) \), используя правило производной сложной функции. Функция имеет вид:

\[ f(x) = \left( g(x) \right)^{-1}, \] где \( g(x) = e^{1/x} + 1 \).

Применим к ней правило дифференцирования степенной функции:

\[ \frac{d}{dx} \left( g(x) \right)^{-1} = -\frac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x). \]

Теперь определим производную \( g(x) = e^{1/x} + 1 \). Запишем:

\[ g'(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{1/x} + 1 \right). \]

Так как производная константы \( 1 \) равна \( 0 \), нам остаётся найти производную \( e^{1/x} \). Используем правило производной сложной функции, где \( h(x) = \frac{1}{x} \), тогда для \( e^{h(x)} \):

\[ \frac{d}{dx} \left( e^{1/x} \right) = e^{1/x} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \right) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right). \]

Таким образом:

\[ g'(x) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right). \]

Теперь можем записать производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = -\frac{1}{\left(e^{1/x} + 1 \right)^2} \cdot \left(-\frac{e^{1/x}}{x^2} \right). \]

Упрощаем выражение:

\[ f'(x) = \frac{e^{1/x}}{x^2 \left(e^{1/x} + 1 \right)^2}. \]

2. Исследование функции:

Область определения: Функция \( f(x) \) определена для всех значений \( x \), кроме \( x = 0 \), так как в этом случае выражение \( 1/x \) становится неопределённым. То есть областью определения функции является \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).

Ассимптотическое поведение:

1. При \( x \to +\infty \):

• \( \frac{1}{x} \to 0 \), следовательно, \( e^{1/x} \to 1 \) и \( f(x) \to \frac{1}{2} \).

2. При \( x \to 0^+ \) (к нулю справа):

• \( \frac{1}{x} \to +\infty \), следовательно, \( e^{1/x} \to +\infty \), и \( f(x) \to 0 \).

3. При \( x \to 0^- \) (к нулю слева):

• \( \frac{1}{x} \to -\infty \), следовательно, \( e^{1/x} \to 0 \), и \( f(x) \to 1 \).

4. При \( x \to -\infty \):

• \( \frac{1}{x} \to 0 \), и, как и в случае \( x \to +\infty \), \( f(x) \to \frac{1}{2} \).

Таким образом, анализируя поведение функции и её производной, можно сделать выводы о её возрастании и убывании в зависимости от области изменения \( x \).