Вычисление пределов функций с помощью их эквивалентных представлений

Данное задание относится к предмету математика, разделу "пределы" — вычисление пределов функций с помощью их эквивалентных представлений.

Нам необходимо найти предел выражения: \[ \lim_{t \to 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi (t + 1)}{2} \right)}{5 - 5^{t+1}} \]

Решение:

1. Исследуем числитель \[ \cos \left( \frac{\pi (t+1)}{2} \right) \]

   При подстановке \( t = 0 \), числитель принимает вид: \[\cos \left( \frac{\pi \cdot (0 + 1)}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \] Известно, что \(\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\), значит, числитель стремится к нулю при \( t \to 0 \).

2. Исследуем знаменатель \[ 5 - 5^{t+1} \]

   При подстановке \( t = 0 \), знаменатель принимает вид: \[ 5 - 5^{0+1} = 5 - 5 = 0 \] Знаменатель тоже стремится к нулю при \( t \to 0 \).

   Таким образом, у нас неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), и это значит, что можно использовать либо разложение в ряд Тейлора, либо эквивалентные замены для решения данной задачи.

3. Эквивалентные замены

   Для \( t \to 0 \), воспользуемся эквивалентными выражениями.

   • \( \cos \left( \frac{\pi (t + 1)}{2} \right) \approx -\frac{\pi}{2} t \), так как разложение синуса по формулам ряда Тейлора даёт такой результат для малых \( t \).
   • Для \( 5^{t + 1} \), можно сделать замену на эквивалент: \[ 5^{t + 1} = 5 \cdot 5^t \approx 5 \cdot (1 + t \ln 5) = 5 + 5t \ln 5 \] Тогда знаменатель выражения примет вид: \[ 5 - (5 + 5t \ln 5) = -5t \ln 5 \]
4. Подставляем эквивалентности в исходный предел: \[ \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{\pi}{2} t}{-5t \ln 5} \]
5. Упрощаем выражение: Сокращаем на \( t \) (при \( t \to 0 \) знак остаётся): \[ \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi}{2}}{5 \ln 5} = \frac{\pi}{10 \ln 5} \]

Ответ: