Вычисление предела не используя правило Лопиталя, ряд Тейлора и приближение

Предмет: Математика (Раздел: Пределы, Анализ) Задание связано с вычислением предела.

Нам дан предел такой формы: \[ \lim_{t \to 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi (t + 1)}{2} \right)}{5 - 5^{t+1}} \]

1. Найдём значение числителя при \( t \to 0 \):

Числитель: \(\cos \left( \frac{\pi (t + 1)}{2} \right)\).

При \( t = 0 \):

\[ t + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi (t + 1)}{2} = \frac{\pi}{2}. \]

Теперь подставим в косинус:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0. \]

Числитель равен 0 при \( t = 0 \).

2. Найдём значение знаменателя при \( t \to 0 \):

Знаменатель: \( 5 - 5^{t+1} \).

При \( t = 0 \):

\[ t + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5^{t+1} = 5^1 = 5. \]

Подставляем:

\[ 5 - 5 = 0. \]

Знаменатель также равен 0 при \( t = 0 \).

3. Мы имеем неопределённость \( \frac{0}{0} \), и нужно найти предел.

Определим поведение числителя и знаменателя для малых \( t \).

Числитель:

Рассмотрим приближение косинуса около \( \frac{\pi}{2} \).

Использую известный результат:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \approx x \quad \text{при малых} \, x. \]

Для малых \( t \) у нас:

\[ \frac{\pi (t+1)}{2} \approx \frac{\pi}{2} \, \text{при } t \to 0, и отступ от \frac{\pi}{2} даёт: \, \, x = \frac{-\pi t}{2}. \]

Значит:

\[ \cos \left( \frac{\pi (t + 1)}{2} \right) \approx \frac{\pi t}{2}. \]

Знаменатель:

Рассмотрим функция \( 5^{t+1} \) около \( t = 0 \).

Заметим, что:

\[ 5^{t+1} = 5 \cdot 5^t. \]

При малых \( t \), известно что \( 5^t \approx 1 + t \log 5 \), то есть:

\[ 5^{t+1} \approx 5(1 + t \log 5). \]

Теперь знаменатель можно переписать как:

\[ 5 - 5^{t+1} \approx 5 - 5(1 + t \log 5) = 5 - 5 - 5t\log 5 = - 5t \log 5. \]

4. Подставляем приближения в предел:

\[ \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi t}{2}}{- 5t \log 5} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi t}{2} \cdot \frac{1}{-5t \log 5} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{-5 \log 5}. \]

5. Ответ:

\[ \frac{\pi}{-10 \log 5}. \]

Это значение предела.