Вычисление предела lim x->2 (sin7pix/tan8pix)

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Решение

Дано выражение:
\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sin(7\pi x)}{\tan(8\pi x)}

Шаг 1: Подстановка значения

Подставим x = 2:
\sin(7\pi \cdot 2) = \sin(14\pi) = 0
\tan(8\pi \cdot 2) = \tan(16\pi) = 0

Получаем неопределенность вида \frac{0}{0}, поэтому применяем правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Находим производные числителя и знаменателя:

• Производная числителя:
  \frac{d}{dx} \sin(7\pi x) = 7\pi \cos(7\pi x)
• Производная знаменателя:
  \frac{d}{dx} \tan(8\pi x) = 8\pi \sec^2(8\pi x)

Подставляем в предел:
\lim\limits_{x \to 2} \frac{7\pi \cos(7\pi x)}{8\pi \sec^2(8\pi x)}

Шаг 3: Вычисление предела

Подставляем x = 2:
\cos(14\pi) = 1
\sec^2(16\pi) = 1

Тогда:
\frac{7\pi \cdot 1}{8\pi \cdot 1} = \frac{7}{8}

Ответ:

\frac{7}{8}