Вычисление предела функции

Предмет: Математический анализ

Раздел: Пределы функций

Задание A5 требует вычисления предела функции:

\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{\sin 3x}.

Решение:

1. Формула предела при малых значениях аргумента: Для малых значений x, справедливо приближение: \sin 3x \approx 3x.
   Подставим это приближение в предел:

    \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{\sin 3x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{3x}. 

2. Упростим дробь: Разделим числитель на x (при x \neq 0):

    \frac{3x^2 - 5x}{3x} = \frac{x(3x - 5)}{3x} = \frac{3x - 5}{3}. 

3. Переход к пределу: При x \to 0, выражение 3x - 5 стремится к -5. Тогда:

    \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 5x}{\sin 3x} = \frac{-5}{3}. 

Ответ:

\frac{-5}{3}.
Правильный вариант ответа: 3.