Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность

Определение предмета и раздела

Это задача по математическому анализу, а именно по векторному анализу, и касается вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность. Для решения этой задачи используется теорема Гаусса (или теорема Остроградского).

Задано:

• Векторное поле: \[ \vec{a} = (x^2 + y)\vec{i} + (x - y)\vec{j} + (x + y + z)\vec{k}. \]
• Поверхность \( T \), которая задается цилиндром \( x^2 + y^2 = 1 \) при \( 0 \leq x \leq 2 \).

План решения:

1. Применим теорему Гаусса для нахождения потока векторного поля через поверхность.
2. Найдем дивергенцию векторного поля \( \vec{a} \).
3. Вычислим тройной интеграл от дивергенции по объему тела \( T \).

Шаг 1. Теорема Гаусса:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность может быть выражен через объемный интеграл от дивергенции поля:

\[ \Phi = \iint\limits_{\partial T} \vec{a} \cdot d\vec{S} = \iiint\limits_T \mathrm{div}(\vec{a})\,dV. \]

Здесь:

• \( \Phi \) — поток через поверхность,
• \( \mathrm{div}(\vec{a}) \) — дивергенция векторного поля,
• \( dV \) — элемент объема.

Шаг 2. Найдем дивергенцию поля \( \vec{a} \):

Для нахождения дивергенции векторного поля \( \vec{a} \) воспользуемся определением:

\[ \mathrm{div}(\vec{a}) = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}, \]

где:

• \( a_x = x^2 + y \),
• \( a_y = x - y \),
• \( a_z = x + y + z \).

Теперь посчитаем частные производные:

1. \( \frac{\partial a_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x \),
2. \( \frac{\partial a_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x - y) = -1 \),
3. \( \frac{\partial a_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x + y + z) = 1 \).

Итак, дивергенция поля:

\[ \mathrm{div}(\vec{a}) = 2x - 1 + 1 = 2x. \]

Шаг 3. Вычислим объемный интеграл:

• Элемент объема в цилиндрических координатах \( dV = r\,dz\,dr\,d\theta \).
• Границы изменения:
  • \( x \) — от 0 до 2,
  • \( r \) — от 0 до 1,
  • \( \theta \) — от 0 до \( 2\pi \),
  • \( z \) — от 0 до \( 2\pi \).