Вычисление площадей криволинейных фигур с применением интегралов

Определение предмета и раздела:

Задание относится к математике, а точнее к разделу математического анализа.
Тема: вычисление площадей криволинейных фигур с применением интегралов.

Пошаговое решение:

1. Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

• \( y = x^2 \),
• \( y = -x^2 + 2 \).

2. Нахождение точек пересечения кривых:

Для определения границ интегрирования мы ищем точки пересечения входящих в задачу кривых. Для этого приравниваем функции:

\[ x^2 = -x^2 + 2 \]

Переносим все слагаемые в одну часть:

\[ x^2 + x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Точки пересечения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

3. Определение "верхней" и "нижней" функции:

• \( y = -x^2 + 2 \) — эта парабола открыта вниз и имеет большее значение \( y \) в пределах \( x \in [-1, 1] \). Это верхняя функция.
• \( y = x^2 \) — эта парабола открыта вверх, \( y \) меньше в заданном интервале. Это нижняя функция.

4. Формула для площади:

Площадь \( S \) фигуры выражается через интеграл разности верхней и нижней функций \( f(x) \) и \( g(x) \):

\[ S = \int_{a}^{b} \left[ f(x) - g(x) \right] \, dx \]

Здесь:

• \( f(x) = -x^2 + 2 \) (верхняя функция),
• \( g(x) = x^2 \) (нижняя функция),
• пределы интегрирования: \( a = -1 \), \( b = 1 \).

5. Составление интеграла:

Подставляем функции:

\[ S = \int_{-1}^{1} \big[ (-x^2 + 2) - x^2 \big] \, dx \]

Упрощаем подынтегральное выражение:

\[ S = \int_{-1}^{1} \big[ -2x^2 + 2 \big] \, dx \]

6. Вычисление интеграла:

Разделяем интеграл на два:

\[ S = \int_{-1}^{1} (-2x^2) \, dx + \int_{-1}^{1} 2 \, dx \]

1. Интеграл от \( -2x^2 \):

   \[ \int_{-1}^{1} -2x^2 \, dx = -2 \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \]

   Для \( \int x^2 \, dx \):

   \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

   Подставляем пределы \( -1 \) и \( 1 \):

   \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \]

   Возвращаемся к \( -2 \int x^2 \, dx \):

   \[ \int_{-1}^{1} -2x^2 \, dx = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} \]

2. Интеграл от \( 2 \):

   \[ \int_{-1}^{1} 2 \, dx = 2 \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2 \cdot \left[ x \right]_{-1}^{1} = 2 \cdot \big( 1 - (-1) \big) = 2 \cdot 2 = 4 \]

7. Суммируем результаты:

\[ S = -\frac{4}{3} + 4 = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ:

Площадь фигуры равна:

\[ S = \frac{8}{3} \]