Вычисление определённого интеграла

Это задание из раздела "Интегралы" предмета "Математика".

Для вычисления данного определённого интеграла: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{\cos x}} \) можем использовать методы подстановки и табличные интегралы.

Решение:

1. Подстановка: Для начала используем подстановку \( u = \cos x \). Теперь найдём производную от \( u \): \( \frac{du}{dx} = -\sin x \) Тогда \( du = -\sin x \, dx \) или \( -du = \sin x \, dx \).
2. Пределы интегрирования: При \( x = 0 \): \( u = \cos(0) = 1 \) При \( x = \frac{\pi}{3} \): \( u = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \)
3. Перепишем интеграл: С учётом подстановки, интеграл принимает вид: \( \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{-du}{\sqrt{u}} \) Перепишем интеграл с учётом отрицательного знака и изменим пределы интегрирования для удобства: \( \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{du}{\sqrt{u}} \)
4. Интегрирование: Выразим подынтегральную функцию в более удобном виде: \( \int_{\frac{1}{2}}^1 u^{-\frac{1}{2}} \, du \) Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} \): \( \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2u^{\frac{1}{2}} \)
5. Выражение первообразной и вычисление по пределам: \( 2u^{\frac{1}{2}} \Bigg|_{\frac{1}{2}}^1 \) Подставляем пределы интегрирования: \( 2\left(1^{\frac{1}{2}}\right) - 2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \) \( 2(1) - 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) \( 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} \) \( 2 - \sqrt{2} \) Таким образом, значение интеграла равно: \( 2 - \sqrt{2} \)