Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница

Определение предмета и его раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (определенные интегралы)

Решение задачи

1. Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница гласит, что если функция ( F(x) ) является первообразной функции ( f(x) ), то определенный интеграл вычисляется как:

 \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a). 

Рассмотрим каждый из заданных интегралов.

а) Вычисление интеграла

 I = \int\limits_{0}^{2} 2^x \,dx. 

Шаг 1: Найдем первообразную

Примитивная функция для ( 2^x ) находится по формуле:

 \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C. 

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница

 I = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2}. 

 I = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}. 

Ответ:
 I = \frac{3}{\ln 2}. 

б) Вычисление интеграла

 J = \int\limits_{0}^{\pi} \cos x \,dx. 

Шаг 1: Найдем первообразную

Примитивная функция для ( \cos x ):

 \int \cos x \,dx = \sin x + C. 

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница

 J = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0. 

Так как ( \sin \pi = 0 ) и ( \sin 0 = 0 ), получаем:

 J = 0 - 0 = 0. 

Ответ:
 J = 0. 

в) Вычисление интеграла

 K = \int\limits_{3}^{5} e^x \,dx. 

Шаг 1: Найдем первообразную

Примитивная функция для ( e^x ):

 \int e^x dx = e^x + C. 

Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница

 K = \left[ e^x \right]_{3}^{5} = e^5 - e^3. 

Ответ:
 K = e^5 - e^3. 

2. Построение интегральных сумм (по определению интеграла)

Определенный интеграл можно вычислить как предел интегральных сумм:

 \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x, 

где:

• ( \Delta x = \frac{b-a}{n} ) — длина каждого подотрезка,
• ( x_i^* ) — произвольная точка в ( i )-м подотрезке.

Составим интегральные суммы для каждого интеграла.

а) Интегральная сумма для ( \int\limits_{0}^{2} 2^x dx )

Разбиваем отрезок ( [0,2] ) на ( n ) частей:

 \Delta x = \frac{2 - 0}{n} = \frac{2}{n}. 

Выбираем точки разбиения ( x_i^* ) как правые концы подотрезков:

 x_i^* = \frac{2i}{n}, \quad i = 1,2, ..., n. 

Тогда интегральная сумма:

 S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} 2^{\frac{2i}{n}} \cdot \frac{2}{n}. 

б) Интегральная сумма для ( \int\limits_{0}^{\pi} \cos x dx )

Разбиваем отрезок ( [0,\pi] ) на ( n ) частей:

 \Delta x = \frac{\pi}{n}. 

Выбираем точки разбиения:

 x_i^* = \frac{\pi i}{n}. 

Интегральная сумма:

 S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} \cos \left( \frac{\pi i}{n} \right) \cdot \frac{\pi}{n}. 

в) Интегральная сумма для ( \int\limits_{3}^{5} e^x dx )

Разбиваем отрезок ( [3,5] ) на ( n ) частей:

 \Delta x = \frac{5 - 3}{n} = \frac{2}{n}. 

Выбираем точки разбиения:

 x_i^* = 3 + \frac{2i}{n}. 

Интегральная сумма:

 S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} e^{\left(3 + \frac{2i}{n} \right)} \cdot \frac{2}{n}. 

Вывод

Мы вычислили определенные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница и составили интегральные суммы по определению интеграла.