Вычисление определенных интегралов

Предмет: Математический анализ
Раздел: Вычисление определенных интегралов

Дан определенный интеграл:

 I = \int_{0}^{3} \frac{15x}{\sqrt[4]{(5x+1)^3} + \sqrt[4]{5x+1}} \,dx. 

Замена переменной

Введем замену:  t = \sqrt[4]{5x+1} \Rightarrow t^4 = 5x + 1. 

Дифференцируем:  4t^3 dt = 5 dx \Rightarrow dx = \frac{4t^3}{5} dt. 

При x = 0:
t = \sqrt[4]{1} = 1.
При x = 3:
t = \sqrt[4]{16} = 2.

Теперь выразим числитель:  15x = 15 \cdot \frac{t^4 - 1}{5} = 3(t^4 - 1). 

Подставляем в интеграл:  I = \int_{1}^{2} \frac{3(t^4 - 1)}{t^3 + t} \cdot \frac{4t^3}{5} dt. 

Упрощаем:  I = \int_{1}^{2} \frac{12t^3 (t^4 - 1)}{5(t^3 + t)} dt. 

Разделяем дробь:  I = \int_{1}^{2} \frac{12t^7 - 12t^3}{5(t^3 + t)} dt. 

Разделяем на два интеграла:  I = \frac{12}{5} \int_{1}^{2} \frac{t^7}{t^3 + t} dt - \frac{12}{5} \int_{1}^{2} \frac{t^3}{t^3 + t} dt. 

Упрощаем дроби:  \frac{t^7}{t^3 + t} = t^4 - t^2, \quad \frac{t^3}{t^3 + t} = 1 - \frac{t}{t^3 + t}. 

Следовательно:  I = \frac{12}{5} \int_{1}^{2} (t^4 - t^2) dt - \frac{12}{5} \int_{1}^{2} \left(1 - \frac{t}{t^3 + t} \right) dt. 

Рассмотрим первый интеграл:  \int (t^4 - t^2) dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3}. 

Вычисляем на отрезке [1,2]:  \left( \frac{2^5}{5} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^5}{5} - \frac{1^3}{3} \right). 

Подставляем:  \left( \frac{32}{5} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right). 

Приводим к общему знаменателю:  \frac{96}{15} - \frac{40}{15} - \left( \frac{3}{15} - \frac{5}{15} \right) = \frac{56}{15} + \frac{2}{15} = \frac{58}{15}. 

Теперь второй интеграл:  \int (1 - \frac{t}{t^3 + t}) dt = \int 1 dt - \int \frac{t}{t^3 + t} dt. 

Первый интеграл:  \int 1 dt = t. 

Второй интеграл:  \int \frac{t}{t^3 + t} dt = \frac{1}{2} \ln |t^3 + t|. 

Вычисляем:  (2 - 1) - \frac{1}{2} (\ln |2^3 + 2| - \ln |1^3 + 1|). 

 1 - \frac{1}{2} (\ln 10 - \ln 2) = 1 - \frac{1}{2} \ln 5. 

Подставляем в выражение для I:  I = \frac{12}{5} \cdot \frac{58}{15} - \frac{12}{5} \left(1 - \frac{1}{2} \ln 5 \right). 

 I = \frac{696}{75} - \frac{12}{5} + \frac{6}{5} \ln 5. 

 I = \frac{696}{75} - \frac{180}{75} + \frac{6}{5} \ln 5. 

 I = \frac{516}{75} + \frac{6}{5} \ln 5. 

 I = \frac{172}{25} + \frac{6}{5} \ln 5. 

Ответ:  I = \frac{172}{25} + \frac{6}{5} \ln 5.