Вычисление неопределенных интегралов

Определение предмета и раздела

Задание относится к разделу математического анализа в предметной области высшей математики. В этом задании требуется вычисление неопределенных интегралов.

Теперь давайте подробно решим каждый интеграл:

1. $\text{(}\int \frac{1}{a+x}dx\text{)}$

Это элементарный интеграл вида $\text{(}\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C\text{)}$, где $\text{(}u=a+x\text{)}$.

Решение:

1. Заметим, что этот интеграл имеет вид: $\text{[}\int \frac{1}{a+x}dx\text{]}$
   Здесь $\text{(}a+x\text{)}$ — линейная функция, поэтому мы можем использовать правило для интегралов вида $\text{(}\int \frac{1}{x+c}dx=\ln |x+c|+C\text{)}$.
2. В результате интегрирования получаем: $\text{[}\int \frac{1}{a+x}dx=\ln |a+x|+C\text{]}$
   Где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ 1: $\text{(}\ln |a+x|+C\text{)}$.

2. $\text{(}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx\text{)}$

Этот интеграл относится к стандартным интегралам. Формула для интеграла вида $\text{(}\int \frac{1}{u^2+c^2}du\text{)}$ известна как:

$\text{[}\int \frac{1}{u^2+a^2}du=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{u}{a}\right)+C.\text{]}$

Решение:

1. Запишем интеграл: $\text{[}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx\text{]}$
   Это стандартный интеграл: $\text{(}\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{)}$.
2. Применяем результат: $\text{[}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{]}$

Ответ 2: $\text{(}\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{)}$.

3. $\text{(}\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\text{)}$

Этот интеграл также стандартный и имеет формулу:

$\text{[}\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C.\text{]}$

Решение:

1. Интеграл: $\text{[}\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\text{]}$
   Соответствует известному результату: $\text{[}\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{]}$.
2. Следовательно, результат: $\text{[}\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{]}$

Ответ 3: $\text{(}\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{)}$.

1. $\text{(}\int \frac{1}{a+x}dx=\ln |a+x|+C\text{)}$
2. $\text{(}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{)}$
3. $\text{(}\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\text{)}$

Теперь даны все три ответа на поставленные вопросы: