Вычисление неопределенных интегралов

Определение предмета и раздела

Задание относится к разделу математического анализа в предметной области высшей математики. В этом задании требуется вычисление неопределенных интегралов.

Теперь давайте подробно решим каждый интеграл:

1. \(\int \frac{1}{a + x} \, dx\)

Это элементарный интеграл вида \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C\), где \( u = a + x \).

Решение:

1. Заметим, что этот интеграл имеет вид: \[ \int \frac{1}{a + x} \, dx \]
   Здесь \(a + x\) — линейная функция, поэтому мы можем использовать правило для интегралов вида \(\int \frac{1}{x+c} \, dx = \ln |x+c| + C \).
2. В результате интегрирования получаем: \[ \int \frac{1}{a + x} \, dx = \ln |a + x| + C \]
   Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Ответ 1: \( \ln |a + x| + C \).

2. \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\)

Этот интеграл относится к стандартным интегралам. Формула для интеграла вида \(\int \frac{1}{u^2 + c^2} \, du\) известна как:

\[ \int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{u}{a} \right) + C. \]

Решение:

1. Запишем интеграл: \[ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx \]
   Это стандартный интеграл: \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C\).
2. Применяем результат: \[ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \]

Ответ 2: \( \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \).

3. \(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx\)

Этот интеграл также стандартный и имеет формулу:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C. \]

Решение:

1. Интеграл: \[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx \]
   Соответствует известному результату: \[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C \].
2. Следовательно, результат: \[ \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C \]

Ответ 3: \( \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C \).

1. \( \int \frac{1}{a + x} \, dx = \ln |a + x| + C \)
2. \( \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C \)
3. \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C \)

Теперь даны все три ответа на поставленные вопросы: