Вычисление коэффициента Джини ( G_n )

Предмет: Математика

Раздел: Экономическая теория (Кривая Лоренца и коэффициент Джини)

Рассмотрим решение задачи №5 по порядку.

1. Доказательство, что функция определяет кривую Лоренца

Функция Лоренца ( L(z) ) описывает накопленную долю общего дохода (или богатства), принадлежащую нижним ( z ) долям населения.

Заданная функция:
L(z) = \frac{2}{\pi} \arcsin z, \quad z \in [0,1]

Кривая Лоренца должна удовлетворять следующим условиям:

1. ( L(0) = 0 ) (нулевая доля населения владеет нулевой долей дохода).
2. ( L(1) = 1 ) (все население владеет всем доходом).
3. ( L(z) ) — монотонно неубывающая функция.
4. ( L(z) ) — выпуклая вниз функция.

Проверим:

• ( L(0) = \frac{2}{\pi} \arcsin(0) = 0 ),
• ( L(1) = \frac{2}{\pi} \arcsin(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 ),
• Производная:
  L'(z) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}
  Она положительна на ( z \in [0,1] ), значит, функция монотонно возрастает.
• Вторая производная:
  L''(z) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{z}{(1 - z^2)^{3/2}}
  Так как ( L''(z) > 0 ) для ( z > 0 ), функция выпуклая вниз.

Следовательно, функция ( L(z) ) действительно задаёт кривую Лоренца.

2. Вычисление коэффициента Джини ( G_n )

Коэффициент Джини определяется как:
G_n = 1 - 2 \int_0^1 L(z) dz

Подставляем ( L(z) ):
G_n = 1 - 2 \int_0^1 \frac{2}{\pi} \arcsin z \, dz

Интегрируем:
Используем подстановку ( u = \arcsin z ), тогда ( du = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} dz ),
и зная, что ( \int \arcsin z \, dz = z \arcsin z + \sqrt{1 - z^2} ), получаем:

\int_0^1 \arcsin z \, dz = \left[ z \arcsin z + \sqrt{1 - z^2} \right]_0^1

Подставляем границы:
\left( 1 \cdot \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1

Теперь находим коэффициент Джини:
G_n = 1 - 2 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)

G_n = 1 - \frac{4}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)

G_n = 1 - 2 + \frac{4}{\pi}

G_n = \frac{4}{\pi} - 1

Приблизительно:
G_n \approx \frac{4}{3.1416} - 1 \approx 0.273

3. Определение точки ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 )

Производная:
L'(z) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}

Решаем уравнение:
\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} = 1

Умножаем на ( \sqrt{1 - z^2} ):
\frac{2}{\pi} = \sqrt{1 - z^2}

Возводим в квадрат:
\left(\frac{2}{\pi}\right)^2 = 1 - z^2

z^2 = 1 - \frac{4}{\pi^2}

z = \sqrt{1 - \frac{4}{\pi^2}}

Приблизительно:
z_0 \approx \sqrt{1 - \frac{4}{9.8696}} \approx \sqrt{1 - 0.405} \approx \sqrt{0.595} \approx 0.771

Ответы:

1. Функция ( L(z) = \frac{2}{\pi} \arcsin z ) действительно задаёт кривую Лоренца.
2. Коэффициент Джини: ( G_n = \frac{4}{\pi} - 1 \approx 0.273 ).
3. Точка ( z_0 ), в которой ( L'(z_0) = 1 ), приблизительно равна ( 0.771 ).