Определение предмета и раздела
Данное задание относится к курсу математики, а конкретно к разделу математического анализа, где рассматриваются кратные интегралы в декартовых и полярных координатах. Здесь рассматривается задача на вычисление двойного и тройного интегралов, и постановка связана с нахождением области интегрирования и преобразованием координат.
Решение первой задачи (двойной интеграл)
Задана функция \( f(x, y) = \frac{dxdy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), для которой требуется вычислить двойной интеграл по области, ограниченной уравнением \( x^2 + y^2 \leqsl{4x}, y \geq 0 \).
-
Переписать область в полярных координатах: Область, указанная неравенством \( x^2 + y^2 \leq 4x \), более удобно преобразовать в полярные координаты. Используем следующие преобразования:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad x^2 + y^2 = r^2. \]
Тогда выражение \( x^2 + y^2 \leq 4x \) становится:
\[ r^2 \leq 4r \cos \theta. \]
Разделим обе части на \( r \) (при условии \( r \neq 0 \)):
\[ r \leq 4 \cos \theta. \]
-
Определение границ интегрирования: У нас полярные координаты, где радиус \( r \) изменяется в пределах от \( 0 \) до \( 4 \cos \theta \), а угол \( \theta \) определяется из условия \( y \geq 0 \), что соответствует диапазону \( [0, \pi] \).
-
Выражение функции в полярных координатах: В полярных координатах выражение \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) преобразуется в \( \frac{1}{r} \), и сам элемент площади \( dxdy \) преобразуется в \( r \, dr d\theta \).
-
Запись интеграла: Теперь запишем двойной интеграл в полярных координатах:
\[ \int_0^\pi \int_0^{4\cos\theta} \frac{r}{r} \, dr \, d\theta = \int_0^\pi \int_0^{4\cos\theta} 1 \, dr \, d\theta. \]
-
Выгодное упрощение: Интеграл по \( r \) даёт просто длину отрезка в пределах от \( 0 \) до \( 4 \cos \theta \):
\[ \int_0^{4\cos\theta} dr = 4 \cos \theta. \]
-
Интеграл по \( \theta \): Теперь интегрируем по \( \theta \):
\[ \int_0^\pi 4 \cos \theta \, d\theta = 4 \int_0^\pi \cos \theta \, d\theta. \]
Интеграл \( \int_0^\pi \cos \theta \, d\theta \) равен \( 0 \) (так как положительная часть от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \) и отрицательная от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \pi \) компенсируется).
Ответ для площади: Площадь равна \( 0 \), что говорит о том, что возможно было допущено недоразумение в постановке задачи или в идентификации границ.
Решение второй задачи (тройной интеграл)
Вторая часть задания — это тройной интеграл в пространстве с переменными \( x, y, z \). Требуется найти объём \( V \), который задаётся сферой с радиусом \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) и некоторым другим ограничением. Для более подробной интерпретации тройного интеграла потребуется больше информации о границах данного объёма \( V \) в системе координат.