Вычисление данных интегралов методом интегрирования по частям

Предмет: Математический анализ

Раздел: Интегрирование (метод интегрирования по частям)

Рассмотрим вычисление данных интегралов методом интегрирования по частям. Напомним основную формулу метода:

\int u \, dv = uv - \int v \, du

где:

• u — функция, которую удобно дифференцировать,
• dv — функция, которую удобно интегрировать.

Рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

Решение пункта (в)

Интеграл:
I = \int_0^4 \ln(1 + x^2) \, dx

Выбор функций для метода интегрирования по частям

Пусть:

• u = \ln(1 + x^2), тогда du = \frac{2x}{1 + x^2} dx.
• dv = dx, тогда v = x.

Применение формулы интегрирования по частям

 I = x \ln(1 + x^2) \Big|_0^4 - \int_0^4 \frac{2x^2}{1 + x^2} dx 

Вычислим первое слагаемое:  x \ln(1 + x^2) \Big|_0^4 = 4 \ln(1 + 16) - 0 \ln(1 + 0) = 4 \ln 17 

Теперь вычислим интеграл:  \int_0^4 \frac{2x^2}{1 + x^2} dx  Разделим в числителе:  2x^2 = 2(x^2 + 1 - 1) = 2(1 + x^2) - 2 

Тогда:  \int_0^4 \frac{2x^2}{1 + x^2} dx = \int_0^4 \left( 2 - \frac{2}{1 + x^2} \right) dx 

Рассмотрим отдельно два интеграла:  \int_0^4 2 dx = 2x \Big|_0^4 = 8 

 \int_0^4 \frac{2}{1 + x^2} dx = 2 \arctan x \Big|_0^4 = 2 (\arctan 4 - \arctan 0) = 2 \arctan 4 

Таким образом:  I = 4 \ln 17 - (8 - 2 \arctan 4) = 4 \ln 17 - 8 + 2 \arctan 4 

Решение пункта (з)

Интеграл:
I = \int_1^4 \sqrt{x} \ln x \, dx

Выбор функций

Пусть:

• u = \ln x, тогда du = \frac{dx}{x}.
• dv = \sqrt{x} dx = x^{1/2} dx, тогда v = \frac{2}{3} x^{3/2}.

Применение метода интегрирования по частям

 I = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x \Big|_1^4 - \int_1^4 \frac{2}{3} x^{3/2} \cdot \frac{dx}{x} 

Вычислим первое слагаемое:  \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x \Big|_1^4 = \frac{2}{3} \left( 4^{3/2} \ln 4 - 1^{3/2} \ln 1 \right) = \frac{2}{3} \left( 8 \ln 4 - 0 \right) = \frac{16}{3} \ln 4 

Вычислим второй интеграл:  \int_1^4 \frac{2}{3} x^{1/2} dx 

Вычисляем:  \frac{2}{3} \int_1^4 x^{1/2} dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_1^4 = \frac{4}{9} (8 - 1) = \frac{28}{9} 

Таким образом:  I = \frac{16}{3} \ln 4 - \frac{28}{9} 

Решение пункта (н)

Интеграл:
I = \int_0^1 \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) dx

Пусть:

• u = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right), тогда du = \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}.
• dv = dx, тогда v = x.

Применяем метод интегрирования по частям:  I = x \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \Big|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx 

Первое слагаемое:  x \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \Big|_0^1 = 1 \ln (1 + \sqrt{2}) - 0 = \ln (1 + \sqrt{2}) 

Второй интеграл:  \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx  Заменим t = 1 + x^2, тогда dt = 2x dx:  \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} \Big|_1^2 = \sqrt{2} - 1 

Таким образом:  I = \ln (1 + \sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 1) = \ln (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} + 1 

Ответы

1. (в) I = 4 \ln 17 - 8 + 2 \arctan 4.
2. (з) I = \frac{16}{3} \ln 4 - \frac{28}{9}.
3. (н) I = \ln (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} + 1.