Вычисление данного предела

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Предел функции)

Разбор выражения

На изображении записан предел:
\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{\frac{x^2}{4} - 4} \right)

Рассмотрим вычисление данного предела.

Вычисление предела

Перепишем выражение под корнем:
\frac{x^2}{4} - 4 = \frac{x^2}{4} - \frac{16}{4} = \frac{x^2 - 16}{4}

Теперь преобразуем выражение под корнем:
\sqrt{\frac{x^2 - 16}{4}} = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{2}

Следовательно, исходное выражение принимает вид:
x - \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{2}

Чтобы упростить выражение, вынесем x^2 из-под корня:
\sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{x^2(1 - \frac{16}{x^2})} = x\sqrt{1 - \frac{16}{x^2}}

При больших x можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора:
\sqrt{1 - \frac{16}{x^2}} \approx 1 - \frac{8}{x^2}

Подставляя это в выражение:
\sqrt{x^2 - 16} \approx x(1 - \frac{8}{x^2}) = x - \frac{8}{x}

Тогда:
\frac{\sqrt{x^2 - 16}}{2} \approx \frac{x - \frac{8}{x}}{2} = \frac{x}{2} - \frac{4}{x}

Следовательно,
x - \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{2} \approx x - \left(\frac{x}{2} - \frac{4}{x}\right) = \frac{x}{2} + \frac{4}{x}

При x \to +\infty вторая дробь стремится к нулю, и остается:
\frac{x}{2}

Ответ

\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{\frac{x^2}{4} - 4} \right) = \frac{x}{2}