Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Выбрать верные утверждения или равенства по последовательностям и рядам Тейлора
Условие:
Решение:
Это задание относится к разделу математического анализа, конкретно к разделу, связанному с последовательностями и рядами, а также к рядам Тейлора.
Разберем каждое утверждение:
Утверждение 1:
Существует степенной ряд, для которого верно следующее утверждение: на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсолютно.
Рассмотрим, что такое степенной ряд:
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]Для степенного ряда существует интервал сходимости \( (c_1, c_2) \). Ряд на концах этого интервала может сходиться абсолютно, расходиться или сходиться условно.
Пример ряда:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \]Для этого ряда интервал сходимости \( (-1, 1) \). В точках \( x = \pm 1 \) ряд:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]сходится абсолютно, так как это гармонический ряд со степенью, большей 1. Значит, утверждение 1 верно.
Утверждение 2:
\[ \frac{(x-5)^5}{5} \]В ряде Тейлора для функции \( f(x) = e^{x-5} \) в окрестности точки \( x_0 = 5 \) одно из слагаемых имеет вид:
Рассмотрим ряд Тейлора для функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = 5 \):
\[ f(x) = e^{x-5} \]Применяем ряд Тейлора:
\[ e^{x-5} = 1 + (x-5) + \frac{(x-5)^2}{2!} + \frac{(x-5)^3}{3!} + \frac{(x-5)^4}{4!} + \frac{(x-5)^5}{5!} + \ldots \]Очевидно, что никакого члена вида \(\frac{(x-5)^5}{5}\) в ряде нет. Значит, утверждение 2 неверно.
Утверждение 3:
Последовательность \( f_n(x) = \frac{nx}{1+n+x} \) сходится неравномерно к своей предельной функции на промежутке \( (0, 1) \).
Рассмотрим \( f_n(x) = \frac{nx}{1+n+x} \). Найдем предельную функцию, когда \( n \to \infty \). Для фиксированного \( x \in (0, 1) \):
\[ f_n(x) = \frac{nx}{1+n+x} \to x \text{ (при } n \to \infty \text{)} \]Посмотрим на равнормерную сходимость. Необходимо
\[ \sup_{x \in (0, 1)} |f_n(x) - x| \to 0 \]Рассмотрим:
\[ |f_n(x) - x| = \left| \frac{nx}{1+n+x} - x \right| = \left| \frac{nx - x(1+n+x)}{1+n+x} \right| = \left| \frac{nx - x - nx - x^2}{1+n+x} \right| = \left| \frac{- x - x^2}{1 + n + x} \right| \]Модуль:
\[ \left| \frac{- x - x^2}{1 + n + x} \right| \leq \frac{x + x^2}{1 + n + x} < \frac{2}{n} \]Так как \( |f_n(x) - x| \neq 0 \) для любых \( x \in (0, 1)\), можем сделать заключение, что сходимость не является равномерной. Утверждение 3 верно.
Верные утверждения: 1, 3.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку