Выбрать четные и нечетные функции среди следующих функций

Данное задание относится к разделу математика, в частности к теме чётные и нечётные функции из курса математического анализа или алгебры.

Напомню определения:

• Функция называется чётной, если $\text{(}f(-x)=f(x)\text{)}$ для любого $\text{(}x\text{)}$ из её области определения.
• Функция называется нечётной, если $\text{(}f(-x)=-f(x)\text{)}$ для любого $\text{(}x\text{)}$ из её области определения.
• Если ни одни из этих условий не выполняется, то функция называется ни чётной, ни нечётной.

Теперь для каждой из функций мы проверим, является ли она чётной или нечётной.

1. $\text{(}y=2^{|x|-1}\text{)}$

• Рассмотрим $\text{(}f(-x)=2^{|(-x)|-1}=2^{|x|-1}=f(x)\text{)}$.
• Так как $\text{(}f(-x)=f(x)\text{)}$ выполняется для всех $\text{(}x\text{)}$, функция является чётной.

2. $\text{(}y=(x^2+1)\cdot \tan x\text{)}$

• Рассмотрим $\text{(}f(-x)=((-x{)}^2+1)\cdot \tan (-x)=(x^2+1)\cdot (-\tan (x))=-(x^2+1)\cdot \tan (x)=-f(x)\text{)}$.
• Так как $\text{(}f(-x)=-f(x)\text{)}$, функция является нечётной.

3. $\text{(}y=x\cdot \log |x|+\sin x\text{)}$

• Рассмотрим: $\text{[}f(-x)=(-x)\cdot \log |(-x)|+\sin (-x)=-x\cdot \log |x|-\sin (x)=-(x\log |x|+\sin x)=-f(x).\text{]}$
• Так как $\text{(}f(-x)=-f(x)\text{)}$, функция является нечётной.

4. $\text{(}y=\cos x-x^2\text{)}$

• Рассмотрим$\text{(}f(-x)=\cos (-x)-(-x{)}^2=\cos x-x^2=f(x)\text{)}$.
• Так как$\text{(}f(-x)=f(x)\text{)}$, функция является чётной.

5. $\text{(}y={\log }_3(x+\sqrt{1+x^2})\text{)}$

• Рассмотрим $\text{(}f(-x)={\log }_3((-x)+\sqrt{1+(-x{)}^2})={\log }_3(-x+\sqrt{1+x^2})\text{)}$.
• В этом случае $\text{(}f(-x)\ne f(x)\text{)}$ и $\text{(}f(-x)\ne -f(x)\text{)}$, следовательно, данная функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ:

• Чётные функции: 1, 4.
• Нечётные функции: 2, 3.
• Ни чётная, ни нечётная: 5.