Выбрать четные и нечетные функции среди следующих функций

Данное задание относится к разделу математика, в частности к теме чётные и нечётные функции из курса математического анализа или алгебры.

Напомню определения:

• Функция называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для любого \( x \) из её области определения.
• Функция называется нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \) для любого \( x \) из её области определения.
• Если ни одни из этих условий не выполняется, то функция называется ни чётной, ни нечётной.

Теперь для каждой из функций мы проверим, является ли она чётной или нечётной.

1. \( y = 2^{|x|-1} \)

• Рассмотрим \( f(-x) = 2^{|(-x)| - 1} = 2^{|x| - 1} = f(x) \).
• Так как \( f(-x) = f(x) \) выполняется для всех \( x \), функция является чётной.

2. \( y = (x^2+1)\cdot \tan x \)

• Рассмотрим \( f(-x) = ((-x)^2 + 1) \cdot \tan(-x) = (x^2 + 1) \cdot (-\tan(x)) = -(x^2 + 1)\cdot \tan(x) = -f(x) \).
• Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечётной.

3. \( y = x \cdot \log|x| + \sin x \)

• Рассмотрим: \[ f(-x) = (-x) \cdot \log|(-x)| + \sin(-x) = -x \cdot \log|x| - \sin(x) = -(x \log |x| + \sin x) = -f(x). \]
• Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечётной.

4. \( y = \cos x - x^2 \)

• Рассмотрим\( f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 = \cos x - x^2 = f(x) \).
• Так как\( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.

5. \( y = \log_3 \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \)

• Рассмотрим \( f(-x) = \log_3 \left( (-x) + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log_3 \left( -x + \sqrt{1 + x^2} \right) \).
• В этом случае \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), следовательно, данная функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ:

• Чётные функции: 1, 4.
• Нечётные функции: 2, 3.
• Ни чётная, ни нечётная: 5.