Введите все номера верных утверждений или равенств по рациональным дробями, интегралами и дифференцированием

Это задание из области высшей математики, а именно из разделов, связанных с работой с рациональными дробями, интегралами и дифференцированием.

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

1. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби:

   Дробь \( \frac{P_3(x)}{x^4 + 5x^2 + 4} \) разлагается на простейшие дроби: \[\frac{Ax + B}{x^2 + 4} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}\]

   При разложении рациональных дробей, многочлен в числителе имеет степень, на единицу меньшую, чем знаменатель соответствующей дроби. Данное утверждение является верным.

2. Интеграл и замена переменной:

   \[\int \frac{dx}{3\sin^2 x + 5\cos^2 x}\]

   Замена: \( t = \tan x \)

   Из \( \text{замены: } t = \tan x \) следует \( dt = (1 + t^2)dx \). Тогда \( \sin^2 x = \frac{t^2}{1 + t^2} \) и \( \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2} \), и замена переменной будет верной. Следовательно, это утверждение является верным.

3. Дифференцирование:

   \[ xdx = d(x^2) \]

   Для того чтобы проверить это выражение, левая часть \( x dx \) интегрируется до \( \frac{x^2}{2} \), а правая часть - это дифференциал функции \( x^2 \). При дифференцировании мы получаем \( d(x^2) = 2x dx \). Следовательно, интеграл \( x dx = \frac{1}{2} d(x^2) \) отличается на коэффициент, и данное утверждение неверно.

Верные утверждения: 1 и 2.

Ответ: 1, 2.