Введите все номера верных утверждений или равенств по интегральным исчислениям

Этот вопрос относится к предмету "математика", в частности, к разделу "интегральное исчисление". Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

1. Площадь криволинейного сектора, образованного гладкой кривой \( f(\varphi) \) и лучами \( \varphi = \alpha \) и \( \varphi = \beta \) в полярных координатах, вычисляется по формуле: \[ \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} f^2(\varphi) d\varphi \] Это утверждение верно, так как формула представляет собой правильное выражение для площади криволинейного сектора в полярных координатах.

2. \[ \int_{-1}^{4} \frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x^2}} \] Сначала проверим интеграл на конечность его границ и функции под знаком интеграла. Интеграл имеет разрыв в точке \(x = 2\), а также в точках \(x = -1\) и \(x = 1\), если мы говорим о \( \sqrt{1 - x^2} \). В результате заключаем, что данный интеграл неправильный (не может быть вычислен так как имеет разрыв в границе интегрирования).

3. \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{b \to + \infty} \left( -\frac{1}{b} \right) - \lim_{\epsilon \to 0} \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) \] Проверим этот интеграл: Сначала рассмотрим интеграл \( \int \frac{dx}{x^2} \): \[ \int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \] Предел на границах интегрирования: \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0}^{+\infty} = \lim_{b \to + \infty} \left( -\frac{1}{b} \right) - \lim_{\epsilon \to 0} \left( -\frac{1}{\epsilon} \right) \] Тем самым: \[ \lim_{b \to + \infty} \left( -\frac{1}{b} \right) = 0 \] \[ \lim_{epsilon \to 0} \left( -\frac{1}{epsilon} \right) = -\infty \] Следовательно интеграл расходится и следовательно форма записи верна.

Таким образом, номера верных утверждений: 1, 3