Векторы в трехмерном пространстве

Предмет, к которому относится это задание — геометрия или аналитическая геометрия. В данном случае мы имеем дело с векторами в трехмерном пространстве. Давайте разберем задание и решим его. У нас есть четыре вектора: \[ A1 = (4, -2, 5) \] \[ A2 = (0, 7, 2) \] \[ A3 = (1, 5, 0) \] \[ A4 = (1, 5, 0) \] Кажется, что предпосылок для выполнения определенного действия с этими векторами нет. Поэтому я буду учитывать, что, возможно, требуется только какое-то конкретное вычисление - например, на расстояние между векторами, их длину или скалярное произведение. Чтобы быть более точным, я предположу, что нужно выполнить серию стандартных операций с векторами:

Длина (модуль) векторов

Длина вектора \(A = (x, y, z)\) вычисляется по формуле: \[ |A| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Длина вектора \(A1 = (4, -2, 5)\):

\[ |A1| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} \approx 6.71 \]

Длина вектора \(A2 = (0, 7, 2)\):

\[ |A2| = \sqrt{0^2 + 7^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 49 + 4} = \sqrt{53} \approx 7.28 \]

Длина вектора \(A3 = (1, 5, 0)\):

\[ |A3| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 25 + 0} = \sqrt{26} \approx 5.10 \]

Длина вектора \(A4 = (1, 5, 0)\):

Т.к. вектор \(A4\) совпадает с \(A3\), его длина будет такой же: \[ |A4| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{26} \approx 5.10 \]

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов \(A = (x_1, y_1, z_1)\) и \(B = (x_2, y_2, z_2)\) вычисляется по формуле: \[ A \cdot B = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

Скалярное произведение \(A1\) и \(A2\):

\[ A1 \cdot A2 = 4 \cdot 0 + (-2) \cdot 7 + 5 \cdot 2 = 0 - 14 + 10 = -4 \]

Скалярное произведение \(A3\) и \(A4\):

Так как \(A3\) и \(A4\) совпадают: \[ A3 \cdot A4 = 1 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 0 \cdot 0 = 1 + 25 + 0 = 26 \]

Эти вычисления показывают длину и скалярное произведение векторов, если требуется другая операция или более конкретная информация - поясните в комментарии, и я скорректирую решение.