Условный экстремум функции (метод множителей Лагранжа)

Предмет: Математический анализ

Раздел: Условный экстремум функции (метод множителей Лагранжа)

Задание:

Определить условный экстремум функции двух переменных

z = 2x - y + 1,

при условии

x^2 - y = 1.

Для нахождения условного экстремума воспользуемся методом множителей Лагранжа.

1. Функция Лагранжа: Запишем функцию Лагранжа:

    L(x, y, \lambda) = z + \lambda \cdot g(x, y), 

   где z = 2x - y + 1, а g(x, y) = x^2 - y - 1 — функция связи. Тогда:

    L(x, y, \lambda) = 2x - y + 1 + \lambda (x^2 - y - 1). 

2. Система уравнений: Для нахождения экстремума решаем систему уравнений:

    \frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0. 

   Найдем частные производные:

   • \frac{\partial L}{\partial x} = 2 + 2\lambda x = 0,
   • \frac{\partial L}{\partial y} = -1 - \lambda = 0,
   • \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 - y - 1 = 0.

3. Система уравнений:

    \begin{cases} 2 + 2\lambda x = 0, \ -1 - \lambda = 0, \ x^2 - y - 1 = 0. \end{cases} 

4. Решение системы: Из второго уравнения находим \lambda:

    \lambda = -1. 

   Подставим \lambda = -1 в первое уравнение:

    2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. 

   Теперь подставим x = 1 в третье уравнение:

    1^2 - y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0. 

5. Нахождение значения функции: Подставим x = 1 и y = 0 в функцию z = 2x - y + 1:

    z = 2 \cdot 1 - 0 + 1 = 3. 

Ответ:

Условный экстремум достигается в точке (x, y) = (1, 0), значение функции: z = 3.