Уравнения теплопроводности

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к предмету "Математический анализ", а точнее к разделу "Дифференциальные уравнения с частными производными" (уравнения математической физики). Конкретно, это задача о решении уравнения теплопроводности с начальными и граничными условиями (так называемая смешанная задача).

Формулировка задачи:

Нам дано уравнение теплопроводности вида \[ u_t = 4u_{xx} + 5e^{-64t} \sin 4x \] с граничными условиями: \[ u(0,t) = 0, \quad u(\pi, t) = 0, \quad t > 0, \] и начальными условиями: \[ u(x, 0) = 0, \quad 0 \leq x \leq \pi. \]

Этапы решения:

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся методом разделения переменных и методом приведения уравнения к однородному.

1. Найдем общее решение однородного уравнения.

Для начала рассмотрим однородное уравнение, соответствующее нашему неоднородному, то есть без правой части: \[ u_t = 4u_{xx}. \]

Рассмотрим решение методом разделения переменных. Пусть решение имеет вид: \[ u(x, t) = X(x)T(t), \] где \(X(x)\) — функция, зависящая только от координаты \(x\), а \(T(t)\) — функция времени \(t\).

Подставим это в уравнение теплопроводности:

\[ X(x) T'(t) = 4 X''(x) T(t). \]

Разделим обе части уравнения на \(X(x)T(t)\) (при условии, что \(X(x) \neq 0\) и \(T(t) \neq 0\)): \[ \frac{T'(t)}{T(t)} = 4 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda, \] где \(\lambda\) — это некоторая константа разделения.

Теперь у нас два уравнения:

1. Для функции \(T(t)\): \[ T'(t) = -\lambda T(t), \] которое имеет общее решение в виде \[ T(t) = Ae^{-\lambda t}, \] где \(A\) — произвольная константа.
2. Для функции \(X(x)\): \[ X''(x) + \frac{\lambda}{4} X(x) = 0, \] которое является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения имеет вид: \[ X(x) = C_1 \sin\left( \sqrt{\frac{\lambda}{4}}x \right) + C_2 \cos\left( \sqrt{\frac{\lambda}{4}}x \right). \]

2. Применим граничные условия.

По условию задачи нам даны граничные условия: \[ u(0, t) = 0 \quad \text{и} \quad u(\pi, t) = 0. \] Так как \(u(x,t) = X(x)T(t)\), то граничные условия для \(u(0,t)\) и \(u(\pi,t)\) превращаются в граничные условия для функции \(X(x)\):

• \(X(0) = 0\) приводит к \(C_2 = 0\), так как косинус функции от нуля даёт единицу.
• \(X(\pi) = 0\) приводит к условию: \[ \sin\left( \sqrt{\frac{\lambda}{4}} \pi \right) = 0. \] Это возможно, если: \[ \sqrt{\frac{\lambda}{4}} \pi = n \pi, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \] То есть, \(\lambda = 4n^2\).

Таким образом, функции \(X(x)\) имеют вид: \[ X_n(x) = \sin(nx). \]

Тогда частное решение однородного уравнения запишем в виде: \[ u_n(x, t) = B_n e^{-4n^2 t} \sin(nx). \]

Общее решение однородного уравнения: \[ u_{\text{одн}}(x, t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} B_n e^{-4n^2 t} \sin(nx). \]

3. Поиск частного решения неоднородного уравнения.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого будем искать решение в виде стационарной функции, зависящей от \(x\) и \(t\).

Пусть частное решение имеет вид: \[ u_{\text{ч}}(x,t) = A(t) \sin(4x). \]

Подставим это в исходное неоднородное уравнение: \[ A'(t) \sin(4x) = 4A(t) \cdot (-16 \sin(4x)) + 5 e^{-64t} \sin(4x). \]

Разделим на \(\sin(4x)\): \[ A'(t) = -64A(t) + 5 e^{-64t}. \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для него общее решение можно найти стандартным методом. Решим его с использованием метода вариации постоянной. Общее решение имеет вид: \[ A(t) = Ce^{-64t} + 1. \]

Частное решение неоднородного уравнения: \[ u_{\text{ч}}(x,t) = (1 - e^{-64t}) \sin(4x). \]

4. Общий вид решения.

Общее решение исходного неоднородного уравнения состоит из суммы однородного и частного решений: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-4n^2 t} \sin(nx) + (1 - e^{-64t}) \sin(4x). \]

5. Применение начальных условий.

По начальному условию \(u(x, 0) = 0\): \[ \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(nx) + \sin(4x) = 0. \] Это выполняется, если \(B_4 = -1\) и все остальные \(B_n = 0\).

Итоговое решение:

\[ u(x,t) = (1 - e^{-64t}) \sin(4x). \]

Ответ:

Общее решение задачи: \[ u(x,t) = (1 - e^{-64t}) \sin(4x). \]