Уравнение касательной плоскости в точке

Предмет: Математический анализ
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Рассмотрим решение задачи для каждой функции по порядку.

Функция 1: ( z = x^2 + xy + y^2 ), точка ( A(1,1) ), вектор ( \mathbf{a} = (2,-1) )

1) Найдем частные производные и их значения в точке ( A(1,1) ):

Частные производные определяются как:

• Частная производная по ( x ):
  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + xy + y^2) = 2x + y
  Подставляем ( A(1,1) ):
  \frac{\partial z}{\partial x} (1,1) = 2(1) + 1 = 3

• Частная производная по ( y ):
  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + xy + y^2) = x + 2y
  Подставляем ( A(1,1) ):
  \frac{\partial z}{\partial y} (1,1) = 1 + 2(1) = 3

2) Градиент ( \nabla z ) в точке ( A ):

Градиент — это вектор, составленный из частных производных:
\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)
В точке ( A(1,1) ):
\nabla z (1,1) = (3,3)

3) Производная в точке ( A ) по направлению вектора ( \mathbf{a} = (2,-1) ):

Производная в направлении вектора ( \mathbf{a} ) вычисляется по формуле:
D_{\mathbf{a}} z = \nabla z \cdot \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}
где \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} — единичный вектор направления.

1. Находим длину вектора ( \mathbf{a} ):
   |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}
2. Единичный вектор:
   \mathbf{e_a} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right)
3. Скалярное произведение:
   D_{\mathbf{a}} z = (3,3) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}} \right)
   D_{\mathbf{a}} z = \frac{3 \cdot 2 + 3 \cdot (-1)}{\sqrt{5}} = \frac{6 - 3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

4) Уравнение касательной плоскости в точке ( A(1,1) ):

Общее уравнение касательной плоскости:
z - z_0 = f_x (x_0, y_0) (x - x_0) + f_y (x_0, y_0) (y - y_0)
Подставляем значения:
z - (1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2) = 3(x - 1) + 3(y - 1)
z - 3 = 3(x - 1) + 3(y - 1)
z = 3 + 3x - 3 + 3y - 3
z = 3x + 3y - 3

Функция 2: ( z = 2x^2 + 3xy + y^2 ), точка ( A(2,1) ), вектор ( \mathbf{a} = (3,-4) )

1) Найдем частные производные и их значения в точке ( A(2,1) ):

• Частная производная по ( x ):
  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + 3xy + y^2) = 4x + 3y
  Подставляем ( A(2,1) ):
  \frac{\partial z}{\partial x} (2,1) = 4(2) + 3(1) = 8 + 3 = 11

• Частная производная по ( y ):
  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + 3xy + y^2) = 3x + 2y
  Подставляем ( A(2,1) ):
  \frac{\partial z}{\partial y} (2,1) = 3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8

2) Градиент ( \nabla z ) в точке ( A ):

\nabla z (2,1) = (11,8)

3) Производная в точке ( A ) по направлению вектора ( \mathbf{a} = (3,-4) ):

Находим длину вектора ( \mathbf{a} ):
|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
Единичный вектор:
\mathbf{e_a} = \left( \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right)
Скалярное произведение:
D_{\mathbf{a}} z = (11,8) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right)
D_{\mathbf{a}} z = \frac{11 \cdot 3 + 8 \cdot (-4)}{5} = \frac{33 - 32}{5} = \frac{1}{5}

4) Уравнение касательной плоскости в точке ( A(2,1) ):

z - z_0 = f_x (x_0, y_0) (x - x_0) + f_y (x_0, y_0) (y - y_0)
Подставляем значения:
z - (2(2)^2 + 3(2)(1) + (1)^2) = 11(x - 2) + 8(y - 1)
z - 15 = 11(x - 2) + 8(y - 1)
z = 15 + 11x - 22 + 8y - 8
z = 11x + 8y - 15

Готово! 🎯