Упрощение бесконечный ряда и исследования на сходимость

Это задание относится к предмету математический анализ и включает разделы, касающиеся последовательностей, рядов и степеней.

Нам дан бесконечный ряд, который требует упрощения и исследования на сходимость. Давайте проанализируем выражение: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{-(4n^2+5)}}{8^{2n-1}} \]

Сначала упростим выражение внутри суммы: \[ \left(\frac{3n}{3n+1}\right)^{-(4n^2+5)} = \left(\frac{3n+1}{3n}\right)^{4n^2+5} \]

То есть, выражение принимает вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{3n+1}{3n}\right)^{4n^2+5}}{8^{2n-1}} \]

Рассмотрим подходящие методы для вычисления суммы. В данном случае, мы будем использовать тот факт, что для больших значений \(n\), выражение \(\left(\frac{3n+1}{3n}\right)\) приближается к \(1\).

\[ \left(\frac{3n+1}{3n}\right)^{4n^2+5} \approx \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{4n^2+5} \]

Используем расширение бинома Ньютона для степеней большого n: \[ (1 + x)^k \approx e^{kx} \text{ when } x \to 0 \] где \( x = \frac{1}{3n} \) и \( k = 4n^2+5 \):

Тогда \[ \left(1 + \frac{1}{3n}\right)^{4n^2+5} \approx e^{(4n^2+5)\cdot\frac{1}{3n}} = e^{\frac{4n^2+5}{3n}} = e^{\frac{4n}{3}+\frac{5}{3n}} \]

Для больших значений \(n\), \( e^{\frac{5}{3n}} \approx 1 \): Поэтому получаем выражение: \[ e^{\frac{4n}{3}} = e^{\frac{4n}{3}} \]

Теперь мы имеем: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{4n}{3}}}{8^{2n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{4n}{3}}}{8^{2n-1}} \]

\[ 8^{2n-1} = (2^3)^{2n-1} = 2^{6n-3} \]

Тогда наша сумма становится: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{4n}{3}}}{2^{6n-3}} \]

Для сходимости такого ряда используем тест сравнения или тест Раабе. Можно также заметить, что: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

Определяем \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\): \[ a_n = \frac{e^{4n/3}}{2^{6n-3}} \]

Из данного выражения видно, что: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{e^{4(n+1)/3}}{2^{6(n+1)-3}}}{\frac{e^{4n/3}}{2^{6n-3}}} \right| \]

При больших значений n, этот ряд меньше чем \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \) что доказывает сходимость ряда.