Данная задача относится к дисциплине "Математика", раздел "Математический анализ", тема "Отображения и функции".
Имеется отображение: \( F : [1; e] \to [1; 2], \quad F(x) = \ln(x) + 1 \).
Мы должны определить, каким является это отображение: инъективным, сюръективным или биективным.
1. Инъективность (взаимно-однозначность):
Отображение называют инъективным, если для любых двух различных элементов из области определения выполняется условие: \[ x_1 \neq x_2 \Rightarrow F(x_1) \neq F(x_2). \]
Проверим, является ли функция \( F(x) = \ln(x) + 1 \) инъективной. Функция \( \ln(x) \) строго возрастает на интервале \( (0; \infty) \), следовательно, функция \( \ln(x) + 1 \) также строго возрастает на интервале \[1; e\]. Это означает, что если \( x_1 \neq x_2 \), то \( F(x_1) \neq F(x_2) \). Следовательно, \( F(x) \) — инъективное отображение.
2. Сюръективность (на множество):
Отображение называют сюръективным, если для любого элемента \( y \) из множества значений существует хотя бы один элемент \( x \) из области определения, такой что \( F(x) = y \).
Проверим сюръективность для функции \( F(x) = \ln(x) + 1 \). Область определения функции \( x \in [1; e] \). Найдем образ этих значений через функцию \( F(x) \):
\[ F(1) = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1, \quad F(e) = \ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2. \]
Таким образом, \( F(x) \) принимает значения от \( 1 \) до \( 2 \), то есть \( F([1; e]) = [1; 2] \). Это значит, что для любого \( y \in [1; 2] \) существует \( x \in [1; e] \), такой что \( F(x) = y \). Следовательно, \( F(x) \) — сюръективное отображение.
3. Биективность:
Отображение называют биективным, если оно является одновременно инъективным и сюръективным. Так как мы доказали, что \( F(x) \) является и инъективным, и сюръективным, следовательно, \( F(x) \) — биективное отображение.
Ответ: Функция \( F(x) = \ln(x) + 1 \) является биективной.