Укажите линейный оператор и найдите его матрицу относительно его канонического базиса

Этот вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", а конкретно к разделу "Линейные операторы и их матрицы относительно базисов".

Анализируем два данных оператора и выбираем правильный

У нас есть два оператора, которые отображают $\text{(}{\mathbb{R}}^3\text{)}$ в $\text{(}{\mathbb{R}}^3\text{)}$:

1. $\text{(}A(x)=\{\begin{array}{l}9x_1+13x_2+2x_3\\ x_1+16x_2+5x_3\\ 14x_1+18x_2+14x_3\end{array}\text{)}$
2. $\text{(}A(x)=\{\begin{array}{l}9x_1+13x_2+2\\ x_1+16x_2+5\\ x_1+2x_2+3\end{array}\text{)}$

Из условий видно, что второй оператор имеет свободные члены $\text{(}2\text{)}$, $\text{(}5\text{)}$ и $\text{(}3\text{)}$, что говорит о том, что он не является линейным, так как для линейного оператора свободные члены должны быть равны нулю.

Таким образом, выбираем первый оператор как линейный:

$\text{[}A(x)=\{\begin{array}{l}9x_1+13x_2+2x_3\\ x_1+16x_2+5x_3\\ 14x_1+18x_2+14x_3\end{array}\text{]}$

Построение матрицы линейного оператора

Для того чтобы найти матрицу линейного оператора $\text{(}A\text{)}$ в каноническом базисе векторов $\text{(}{\mathbb{R}}^3\text{)}$, нам нужно записать образы базисных векторов $\text{(}{e}_1,e_2\text{)}$ и $\text{(}{e}_3\text{)}$:

1. $\text{[}A(e_1)=A(1,0,0)=\left(\begin{array}{c}9\\ 1\\ 14\end{array}\right)\text{]}$
2. $\text{[}A(e_2)=A(0,1,0)=\left(\begin{array}{c}13\\ 16\\ 18\end{array}\right)\text{]}$
3. $\text{[}A(e_3)=A(0,0,1)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 14\end{array}\right)\text{]}$

Записываем образы векторов в виде столбцов матрицы: $\text{[}[A]=\left(\begin{array}{ccc}9& 13& 2\\ 1& 16& 5\\ 14& 18& 14\end{array}\right)\text{]}$

Находите сумму элементов 2-го столбца

Элементы второго столбца матрицы: $\text{[}13,16,18\text{]}$
Сумма этих элементов: $\text{[}13+16+18=47\text{]}$

Таким образом, сумма элементов второго столбца равняется $\text{(}47\text{)}$.