Укажите линейный оператор и найдите его матрицу относительно его канонического базиса

Этот вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", а конкретно к разделу "Линейные операторы и их матрицы относительно базисов".

Анализируем два данных оператора и выбираем правильный

У нас есть два оператора, которые отображают \( \mathbb{R}^3 \) в \( \mathbb{R}^3 \):

1. \( A(x) = \begin{cases} 9x_1 + 13x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 16x_2 + 5x_3 \\ 14x_1 + 18x_2 + 14x_3 \end{cases} \)
2. \( A(x) = \begin{cases} 9x_1 + 13x_2 + 2 \\ x_1 + 16x_2 + 5 \\ x_1 + 2x_2 + 3 \end{cases} \)

Из условий видно, что второй оператор имеет свободные члены \(2\), \(5\) и \(3\), что говорит о том, что он не является линейным, так как для линейного оператора свободные члены должны быть равны нулю.

Таким образом, выбираем первый оператор как линейный:

\[ A(x) = \begin{cases} 9x_1 + 13x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 16x_2 + 5x_3 \\ 14x_1 + 18x_2 + 14x_3 \end{cases} \]

Построение матрицы линейного оператора

Для того чтобы найти матрицу линейного оператора \(A\) в каноническом базисе векторов \( \mathbb{R}^3 \), нам нужно записать образы базисных векторов \(e_1, e_2\) и \(e_3\):

1. \[ A(e_1) = A(1, 0, 0) = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix} \]
2. \[ A(e_2) = A(0, 1, 0) = \begin{pmatrix} 13 \\ 16 \\ 18 \end{pmatrix} \]
3. \[ A(e_3) = A(0, 0, 1) = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 14 \end{pmatrix} \]

Записываем образы векторов в виде столбцов матрицы: \[ [A] = \begin{pmatrix} 9 & 13 & 2 \\ 1 & 16 & 5 \\ 14 & 18 & 14 \end{pmatrix} \]

Находите сумму элементов 2-го столбца

Элементы второго столбца матрицы: \[ 13, 16, 18 \]
Сумма этих элементов: \[ 13 + 16 + 18 = 47 \]

Таким образом, сумма элементов второго столбца равняется \( 47 \).