Указать тип уравнения. решить дифференцированное уравнение 1 порядка

Определим тип уравнения и решим его.

Данное уравнение записывается следующим образом: \( y' + \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2} \)

Шаг 1: Преобразование уравнения

Перепишем данное уравнение: \( y' + \frac{y}{x} = \frac{y^2}{x^2} \)

Шаг 2: Умножение на \( x^2 \)

Умножим обе части уравнения на \( x^2 \): \( x^2 y' + x y = y^2 \)

Шаг 3: Подбор метода решения

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Для этого выделим производную \( y \) от \( x \): \( x^2 y' + x y - y^2 = 0 \)

Приведем к виду: \( y' x^2 + y x - y^2 = 0 \)

Шаг 4: Разделение переменных

Перепишем уравнение в виде: \( \frac{dy}{dx} x^2 + y x - y^2 = 0 \)

Преобразуем уравнение, чтобы выделить \( \frac{dy}{dx} \): \( \frac{dy}{dx} x^2 = y^2 - y x \)

Шаг 5: Разделим переменные:

Преобразуем уравнение, чтобы разделить переменные \( y \) и \( x \): \( \frac{dy}{y^2 - y x} = \frac{dx}{x^2} \)

Шаг 6: Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения. Для этого упростим дроби: \( \int \frac{dy}{y (y - x)} = \int \frac{dx}{x^2} \)

Левую часть интегрируем используя разложение на простые дроби: \( \frac{1}{y(y - x)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y - x} \)

Решаем уравнения для \(A\) и \(B\): \( A(y-x) + By = 1 \)

Пусть \( y = 0\): \( - Ax = 1 \implies A = -\frac{1}{x} \)

Пусть \( y = x\): \( Bx = 1 \implies B = \frac{1}{x} \)

Таким образом, преобразуем левую часть: \( \int \left( -\frac{1}{x} \frac{dy}{y} + \frac{1}{x} \frac{1}{y - x} \right) = \int -\frac{dx}{x^2} \)

Интегрируя: \( - \frac{\ln |y|}{x} + \frac{\ln |y -x|}{x} = -\frac{1}{x} \)

Итак, теперь мы получили: \( \frac{1}{x} (\ln |y| - \ln |y - x|) = \frac{1}{x} \)

Упростим это: \( \ln \left| \frac{y}{y - x} \right| = 1 \)

Таким образом, \( \left| \frac{y}{y - x} \right| = e^1 \implies \frac{y}{y - x} = e \)

Тогда: \( y = e (y - x) \)

Откуда следует: \( y = ey - ex \)

\( y (1-e) = -ex \)

\( y = \frac{-ex}{1-e} \)

Это решением первого порядка дифференциального уравнения.