Указать область дифференцируемости функции и вычислить производную

Предмет: Математический анализ
Раздел: Комплексный анализ

Рассмотрим функцию:
f(z) = \sin(z^2)

1. Область дифференцируемости

Функция \sin(z) является аналитической (голоморфной) во всей комплексной плоскости, а функция z^2 также аналитична во всей \mathbb{C}. Композиция аналитических функций тоже аналитична, следовательно, f(z) = \sin(z^2) аналитична во всей комплексной плоскости.

Таким образом, область дифференцируемости — вся комплексная плоскость \mathbb{C}.

2. Вычисление производной

Используем правило дифференцирования сложной функции:
 f'(z) = \cos(z^2) \cdot \frac{d}{dz} (z^2) = \cos(z^2) \cdot 2z = 2z \cos(z^2). 

3. Выделение действительной и мнимой части

Запишем z в виде z = x + iy, где x и y — действительная и мнимая части соответственно. Тогда:
 z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy. 

Подставим это в f'(z):
 f'(z) = 2(x + iy) \cos(x^2 - y^2 + 2ixy). 

Используем формулу Эйлера для косинуса:
 \cos(a + ib) = \cos a \cosh b - i \sin a \sinh b. 

Подставляя a = x^2 - y^2 и b = 2xy, получаем:
 \cos(x^2 - y^2 + 2ixy) = \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) - i \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy). 

Тогда:
 f'(z) = 2(x + iy) \left[ \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) - i \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy) \right]. 

Раскрываем скобки:
 f'(z) = 2x \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) - 2y \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy) + i \left[ 2y \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) + 2x \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy) \right]. 

Таким образом,

• Действительная часть:
  \operatorname{Re} f'(z) = 2x \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) - 2y \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy).

• Мнимая часть:
  \operatorname{Im} f'(z) = 2y \cos(x^2 - y^2) \cosh(2xy) + 2x \sin(x^2 - y^2) \sinh(2xy).