Указать характер точек разрыва функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование разрывов функции)

Дана функция:
y = x + \frac{x + 3}{|x + 3|}

Необходимо определить характер точек разрыва данной функции.

Шаг 1: Найдем точки разрыва функции

Функция включает модуль |x+3| в знаменателе дроби. Модуль может быть равен нулю, если x + 3 = 0, то есть при x = -3. Следовательно, точка x = -3 является потенциальной точкой разрыва функции.

Шаг 2: Исследуем поведение функции при x \to -3^+ и x \to -3^−

Запишем функцию в виде: y = x + \frac{x + 3}{|x + 3|}.

Для x > -3 (справа от -3):

Когда x > -3, модуль раскрывается как |x + 3| = x + 3. Тогда: y = x + \frac{x + 3}{x + 3} = x + 1.

Для x < -3 (слева от -3):

Когда x < -3, модуль раскрывается как |x + 3| = -(x + 3). Тогда: y = x + \frac{x + 3}{-(x + 3)} = x - 1.

Шаг 3: Найдем односторонние пределы в точке x = -3

Предел справа (x \to -3^+):

\lim_{x \to -3^+} y = \lim_{x \to -3^+} (x + 1) = -3 + 1 = -2.

Предел слева (x \to -3^−):

\lim_{x \to -3^-} y = \lim_{x \to -3^-} (x - 1) = -3 - 1 = -4.

Шаг 4: Характер точки разрыва

Пределы слева и справа не совпадают: \lim_{x \to -3^+} y = -2 \neq -4 = \lim_{x \to -3^-} y.

Следовательно, в точке x = -3 функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ:

Функция имеет разрыв первого рода в точке x = -3.