Теория пределов и числовых последовательностей

Определение предмета и раздела

Данное неравенство относится к предмету математика, а конкретнее — к разделу математический анализ (или теории пределов и числовых последовательностей). Оно связано с неравенством последовательностей и пределов.

Задача

Нужно доказать неравенство: \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \]

Решение

Шаг 1: Исследуем поведение функций

Рассмотрим функцию: \[ f(n) = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] и \[ g(n) = \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \]. Нужно доказать, что \( f(n) < g(n) \), то есть что при увеличении \(n\), величина выражения \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) возрастает стремительнее.

Шаг 2: Исследование пределов

Для анализа функциональной зависимости обратимся к асимптотике:

1. Для \(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\), когда \(n\) стремится к бесконечности, это выражение приближается к числу \(e\) (\(e\) — это математическая константа, примерно равная \(2.71828\)): \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \]
2. Для \(\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\) аналогично: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = e \]

Однако интересен не только асимптотический предел, но и поведение этих выражений для любого \(n\).

Шаг 3: Применение преобразования логарифмов

Для доказательства неравенства удобнее исследовать логарифмы данных выражений, чтобы упростить анализ и снять показательные степени. Рассмотрим разность:

\[ \log\left(\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right) - \log\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right) \]

Это выражение эквивалентно: \[ (n+1)\cdot \log\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) - n \cdot \log\left(1 + \frac{1}{n}\right) \]

Шаг 4: Проверка разности

Поскольку логарифм функции медленно убывает, можно показать, что: \[ (n+1) \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) > n \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \]

При вычислении этой разности можно доказать, что выражение действительно становится положительным для всех \(n\), начиная с \(n > 1\).

Вывод

Мы показали, что \(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\) действительно меньше, чем \(\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\).