Теория числовых рядов

Предмет: Математика

Раздел: Теория числовых рядов

Дан числовой ряд:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n}

1. Исследование сходимости

Применим признак сравнения. Рассмотрим вспомогательный ряд:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}

Этот ряд является геометрическим с первым членом \frac{1}{2} и знаменателем q = \frac{1}{2}. Так как |q| < 1, то он сходится.

Так как для всех n \geq 1 выполняется неравенство:
\frac{1}{2^n n} \leq \frac{1}{2^n},
а ряд \sum \frac{1}{2^n} сходится, то по признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.

2. Нахождение суммы

Рассмотрим сумму ряда:
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n}

Используем разложение интегрального логарифма или известную формулу суммы ряда Дирихле. Известно, что:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n} = \ln 2.

Таким образом, сумма ряда:
S = \ln 2.

Ответ:

Ряд сходится, его сумма равна \ln 2.