Суммирование рядов с помощью дифференцирования или интегрирования

Данная задача относится к предмету математики, разделу анализа, конкретнее к суммированию рядов с помощью дифференцирования или интегрирования.

Рассмотрим сумму ряда, которая выглядит следующим образом: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (5n + 3)x^{n-1} \] Для того, чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться стандартными результатами для степенных рядов.

Рассмотрим вспомогательный ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad \text{для} \quad |x| < 1 \] Дифференцируем обе части этого уравнения по \(x\):

\[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) \]

\[ \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \]

Теперь рассмотрим сумму ряда: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (5n + 3)x^{n-1} \]

Мы можем разложить этот ряд на две части: \[ 5 \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} + 3 \sum_{n=0}^{\infty} x^{n-1} \]

Мы уже нашли выражение для первой части: \[ 5 \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{5}{(1-x)^2} \]

Теперь найдем вторую часть. Это ряд вида: \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{1}{x(1-x)} \]

Таким образом, сумма ряда записывается как: \[ S(x) = 5 \cdot \frac{1}{(1-x)^2} + 3 \cdot \frac{1}{x(1-x)} \]

Приведем это выражение к общему знаменателю: \[ S(x) = \frac{5x + 3(1-x)}{x(1-x)^2} = \frac{5x + 3 - 3x}{x(1-x)^2} = \frac{2x + 3}{x(1-x)^2} \]

Теперь преобразуем знаменатель: \[ S(x) = \frac{2x + 3}{x(1-x)^2} = \frac{2x + 3}{x \cdot (1-2x+x^2)} \]

После приведения к виду \(\alpha x + \beta\) разложим результат на суммируемость ряда. В данном виде: \[ S(x) = \frac{-7/4}{3} \]

Таким образом, \(a_3\) равно: \[ -7/4 \]