Среди несобственных интегралов первого и второго рода указать сходящиеся

Предмет: Математический анализ

Раздел: Несобственные интегралы

Необходимо определить, какие из данных несобственных интегралов первого и второго рода являются сходящимися.

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. Интеграл:
   \int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^5 + 2}}

   • Для оценки сходимости используем сравнение с функцией \frac{1}{\sqrt{x^5}}, которая ведет себя как \frac{1}{x^{5/2}}.
   • Интеграл \int\limits_{1}^{\infty} x^{-5/2} dx сходится, так как показатель -5/2 + 1 = -3/2 < 0.
   • Следовательно, данный интеграл сходится.

2. Интеграл:
   \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^7}}

   • Функция \frac{1}{\sqrt{x^7}} эквивалентна x^{-7/2}.
   • Интеграл \int\limits_{0}^{1} x^{-7/2} dx расходится, так как показатель -7/2 + 1 = -5/2 < 0.
   • Следовательно, данный интеграл расходится.

3. Интеграл:
   \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{(1 - x)^3}

   • В точке x = 1 знаменатель обращается в ноль, что может привести к расходимости.
   • Интеграл \int\limits_{0}^{1} (1 - x)^{-3} dx имеет показатель -3 + 1 = -2, что указывает на расходимость.
   • Следовательно, данный интеграл расходится.

4. Интеграл:
   \int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^7}}

   • Функция \frac{1}{\sqrt{x^7}} ведет себя как x^{-7/2}.
   • Интеграл \int\limits_{1}^{\infty} x^{-7/2} dx сходится, так как показатель -7/2 + 1 = -5/2 < 0.
   • Следовательно, данный интеграл сходится.

5. Интеграл:
   \int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^3 + 2x}}

   • Для оценки сходимости используем сравнение с \frac{1}{\sqrt{x^3}}, что эквивалентно x^{-3/2}.
   • Интеграл \int\limits_{1}^{\infty} x^{-3/2} dx сходится, так как показатель -3/2 + 1 = -1/2 < 0.
   • Следовательно, данный интеграл сходится.

Вывод

Сходящиеся интегралы:

• 1-й
• 4-й
• 5-й