Составьте уравнение касательной и нормали в точке М(1;2)

Определение предмета и раздела:

Данный вопрос относится к разделу аналитической геометрии и математического анализа, так как задача связана с нахождением уравнений касательной и нормали к кривой в данной точке.

Условие:

Имеется кривая: \[ y^4 - 4x^4 - 6xy = 0, \] и точка \( M(1; 2) \). Необходимо составить уравнения касательной и нормали в этой точке.

Решение:

1. Общий алгоритм:

   Чтобы найти уравнения касательной и нормали:

   • Нужно вычислить производную \(\frac{dy}{dx}\) (наклон касательной).
   • Найти наклон нормали как отрицательный обратный к наклону касательной.
   • Составить уравнения прямо́й касательной и нормали, зная наклон и точку \((x_0; y_0)\).

---

2. Запись уравнения функции и вычисление \(\frac{dy}{dx}\):

   Дана функция: \[ y^4 - 4x^4 - 6xy = 0. \]

   Найдём производную, используя неявное дифференцирование:

   \[ \frac{d}{dx}(y^4) - \frac{d}{dx}(4x^4) - \frac{d}{dx}(6xy) = 0. \]

   Здесь:

   • \(\frac{d}{dx}(y^4) = 4y^3 \frac{dy}{dx}\),
   • \(\frac{d}{dx}(4x^4) = 16x^3\),
   • \(\frac{d}{dx}(6xy) = 6 \frac{d}{dx}(xy)\).

   Раскроем последнюю производную \( \frac{d}{dx}(xy) \):

   \[ 6 \frac{d}{dx}(xy) = 6 \left( x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \right) = 6x \frac{dy}{dx} + 6y. \]

   Подставим всё в общее уравнение:

   \[ 4y^3 \frac{dy}{dx} - 16x^3 - 6x \frac{dy}{dx} - 6y = 0. \]

   Группируем члены с \(\frac{dy}{dx}\):

   \[ \left(4y^3 - 6x\right) \frac{dy}{dx} = 16x^3 + 6y. \]

   Выражаем \(\frac{dy}{dx}\):

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{16x^3 + 6y}{4y^3 - 6x}. \]

---

3. Вычисление наклона касательной:

   Подставим координаты точки \( M(1; 2) \) (\(x = 1\), \(y = 2\)):

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{16 \cdot 1^3 + 6 \cdot 2}{4 \cdot 2^3 - 6 \cdot 1}. \]

   Считаем числитель и знаменатель:

   \[ Числитель: 16 + 12 = 28, \quad Знаменатель: 4 \cdot 8 - 6 = 32 - 6 = 26. \]

   Отсюда:

   \[ \frac{dy}{dx} = \frac{28}{26} = \frac{14}{13}. \]

   Наклон касательной: \( k_{\text{кас}} = \frac{14}{13} \).

---

4. Уравнение касательной:

   Уравнение прямой имеет вид:

   \[ y - y_0 = k (x - x_0), \]

   где \(k = \frac{14}{13}\), \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\).

   Подставляем:

   \[ y - 2 = \frac{14}{13}(x - 1). \]

   Преобразуем:

   \[ y = \frac{14}{13}x - \frac{14}{13} + 2. \]

   Приведём к общему знаменателю:

   \[ y = \frac{14}{13}x + \frac{26}{13}. \]

   Уравнение касательной: \[ y = \frac{14}{13}x + \frac{12}{13}. \]

---

5. Уравнение нормали:

   Наклон нормали:

   \[ k_{\text{норм}} = -\frac{1}{k_{\text{кас}}} = -\frac{1}{\frac{14}{13}} = -\frac{13}{14}. \]

   Уравнение нормали:

   \[ y - y_0 = k_{\text{норм}} (x - x_0), \]

   где \(k_{\text{норм}} = -\frac{13}{14}\), \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\).

   Подставляем:

   \[ y - 2 = -\frac{13}{14}(x - 1). \]

   Преобразуем:

   \[ y = -\frac{13}{14}x + \frac{13}{14} + 2. \]

   Приведём к общему знаменателю:

   \[ y = -\frac{13}{14}x + \frac{41}{14}. \]

Ответ:

• Уравнение касательной: \[ y = \frac{14}{13}x + \frac{12}{13}. \]
• Уравнение нормали: \[ y = -\frac{13}{14}x + \frac{15}{14}. \]

Уравнение нормали: \[ y = -\frac{13}{14}x + \frac{15}{14}. \]