Составить уравнение плоскости, касающейся графика функции z=x^3 - 2у^2 - ху в точке (-1,0)

Этот вопрос относится к предмету "Математика", а конкретнее к разделу "Аналитическая геометрия" и "Дифференциальное исчисление". Вам необходимо составить уравнение плоскости, касающейся графика функции \( z = x^3 - 2y^2 - xy \) в заданной точке \((-1, 0)\).

Решение задания:

1. Найти значение функции в точке \( (-1, 0) \): \[ z = (-1)^3 - 2(0)^2 - (-1)(0) = -1 \] Тогда координаты точки касания: \( (-1, 0, -1) \).
2. Найти частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \) для определения нормального вектора касательной плоскости.
   • Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - y \] В точке \( (-1, 0) \): \[ f_x(-1, 0) = 3(-1)^2 - 0 = 3 \]
   • Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -4y - x \] В точке \( (-1, 0) \): \[ f_y(-1, 0) = -4(0) - (-1) = 1 \]
3. Составить уравнение плоскости. Уравнение плоскости в общем виде: \[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \] Подставим найденные значения: \[ z - (-1) = 3(x + 1) + 1(y - 0) \] Упростим уравнение: \[ z + 1 = 3x + 3 + y \] \[ z = 3x + y + 2 \] Таким образом, уравнение плоскости, касающейся графика функции \( z = x^3 - 2y^2 - xy \) в точке \( (-1, 0) \), имеет вид: \[ z = 3x + y + 2 \]