Составить уравнение плоскости, касающейся графика функции

Этот вопрос относится к разделу аналитической геометрии, а именно к задаче нахождения уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке.

Для того, чтобы получить уравнение плоскости, касающейся графика функции \( z = x^2 + 2y^2 - xy \) в точке \((1, 2)\), нужно сначала вычислить значения частных производных функции по переменным \( x \) и \( y \) в этой точке.

1. Вычислим \(z\) в точке \((1, 2)\): \[ z = 1^2 + 2 \cdot 2^2 - 1 \cdot 2 = 1 + 8 - 2 = 7 \] То есть, точка касания имеет координаты \((1, 2, 7)\).
2. Найдём частные производные функции \( z = x^2 + 2y^2 - xy \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 4y - x \]
3. Подставим значения \( x = 1 \) и \( y = 2 \) в частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(1, 2)} = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(1, 2)} = 4 \cdot 2 - 1 = 7 \]
4. Теперь, зная, что касательная плоскость имеет уравнение вида: \[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(y - y_0) \] где \( (x_0, y_0, z_0) \) - точка касания, подставим найденные значения: \[ z - 7 = 0 \cdot (x - 1) + 7 \cdot (y - 2) \]
5. Упростим это уравнение: \[ z - 7 = 7(y - 2) \] \[ z - 7 = 7y - 14 \] \[ z = 7y - 7 \] Таким образом, уравнение плоскости, касающейся графика функции \( z = x^2 + 2y^2 - xy \) в точке \((1, 2)\), имеет вид: \[ z = 7y - 7 \]