Составить уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой

Определение предмета:

Предмет — математика, раздел — математический анализ (вычисление производных, характеристика нормалей, касательных).

Разберем задание №7:

Составить уравнение нормали к кривой \( y = x - x^2 \) в точке с абсциссой \( x = 1 \):

Пошаговое решение:

1. Нахождение производной (\( y' \)):

Производная функции \( y = x - x^2 \) находится по правилу дифференцирования.

\[ y' = 1 - 2x \]

2. Вычисление значения производной в точке \( x = 1 \):

Подставляем \( x = 1 \):

\[ y'(1) = 1 - 2 \cdot 1 = -1 \]

Это коэффициент наклона касательной (\( k_{\text{касательной}} = -1 \)).

3. Расчет коэффициента наклона нормали:

Коэффициент угла наклона нормали (\( k_{\text{нормали}} \)) связан с коэффициентом касательной следующим образом:

\[ k_{\text{нормали}} = -\frac{1}{k_{\text{касательной}}} \]

Подставляем \( k_{\text{касательной}} = -1 \):

\[ k_{\text{нормали}} = -\frac{1}{-1} = 1 \]

4. Нахождение координат точки касания:

Подставляем \( x = 1 \) в уравнение функции \( y = x - x^2 \):

\[ y = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0 \]

Получаем координаты точки: \( (1, 0) \).

5. Уравнение нормали (прямая с наклоном \( k_{\text{нормали}} \)):

Уравнение прямой в общем виде:

\[ y - y_0 = k_{\text{нормали}} (x - x_0), \]

где:

• \( k_{\text{нормали}} = 1 \),
• \( (x_0, y_0) = (1, 0) \).

Подставляем:

\[ y - 0 = 1 \cdot (x - 1), \]

упрощаем:

\[ y = x - 1. \]

Ответ:

Уравнение нормали: \[ y = x - 1. \]