Составить 12 задач по математическому анализу

Предмет: Математический анализ
Раздел: Задачи на различные темы математического анализа (пределы, производные, интегралы, ряды и т.д.)

Ниже приведены 12 задач по математическому анализу с разной степенью сложности.

1. Найдите предел функции при стремлении переменной к заданному значению:
   \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

2. Найдите производную функции:
   f(x) = x^3 \cdot e^x

3. Исследуйте функцию
   f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}
   на непрерывность и найдите точки разрыва.

4. Найдите первообразную функции:
   f(x) = \cos x

5. Вычислите определённый интеграл:
   \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx

6. Найдите экстремумы функции:
   f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1

7. Исследуйте сходимость ряда:
   \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

8. Найдите решение дифференциального уравнения:
   y' = 3y,
   с условием y(0) = 2

9. Найдите предел последовательности:
   a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

10. Найдите производную функции нескольких переменных:
    f(x,y) = x^2 y + e^{xy}

11. Вычислите двойной интеграл:
    \iint_D (x + y) \, dA, где D — квадрат с вершинами в (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).

12. Используя формулу Тейлора, разложите функцию
    f(x) = \ln(1 + x)
    в ряд около x=0 с точностью до члена x^3.

Если нужно, могу подробно разобрать любую из этих задач.